Hola
Luis 
,
Siguiendo tu idea:
Lo que dices es claro, dado un punto \( p\in \mathbb{S}^2 \) podemos considerar el plano \( \langle v, p \rangle = 0 \) que pasa por el origen y tiene a \( p \) como vector normal, ahora, si consideramos sus trasladados \( \langle v+v_0, p \rangle = 0 \), alguno de estos debe dividir a \( A_1 \) en dos volúmenes iguales (por un tema de continuidad).
Una vez tenemos ese plano, llamémosle \( \pi_p \) (observemos que tenemos \( \pi_{p}=\pi_{-p} \)), podemos ahora considerar la función \( f:\mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}^2 \) que a cada punto \( p \) le asigna el vector cuya coordenada \( i \) es el volumen de \( A_i \) en el semiespacio determinado por \( \pi_p \) en sentido a su vector normal \( p \) (con \( i=2,3 \)).
Ahora, si \( f \) resultase continua, por el teorema de Borsuk-Ulam existiría un punto \( p_0 \) de forma que \( f(p_0)=f(-p_0) \) y esto implica que el plano \( \pi_{p_0} \) verifica lo que queríamos, es decir, divide a cada \( A_i \) en partes de igual volumen (usando que \( \pi_p= \pi_{-p} \) y que por ende consideramos los volúmenes en ambos semiespacios determinados por \( \pi_p \)).
Ahora, para ver la continuidad de \( f \), no espero que exista una formula para la misma, pero al menos pienso que a pequeños movimientos de \( p \) resultan en pequeños movimientos de \( \pi_p \) lo cual nos daría pequeñas variaciones en los volúmenes que consideramos.
¿Es correcto este acercamiento intuitivo? ¿Se puede justificar un poco más la continuidad de \( f \)?
Saludos,
Franco.
