Hola
¿Por qué no se puede?
\( A = \{x\mid x = 1\lor x = \text{pájaro}\lor x= -3\lor x = \text{auto azul}\} \).
Pues, parece forzado escribirlo así, pero si la definición lo permite no hay nada que cuestionar y llevarás razón.
En ZFC sólo hay conjuntos, o, dicho de otro modo, todos son "de la misma especie". No hay autos, ni pájaros ni tornillos. Sólo conjuntos. Por lo tanto, no es que se puedan definir conjuntos con elementos de la misma especie o de especies distintas, sino que no hay especies de ningún tipo.
Por supuesto, puedes dividir los conjuntos en las "especies" que quieras, como "conjuntos con un elemento", "conjuntos con dos elementos", "conjuntos infinitos", y entonces nadie te impide meter en un mismo conjunto conjuntos de todas las especies que quieras.
Si en lugar de ZFC consideras un concepto intuitivo de conjunto, entonces estará bien todo lo que puedas definir con precisión. Tu segundo conjunto tiene cuatro elementos. En todo caso, para asegurar que se entiende la definición tendrías que explicar si "pájaro" es algún pájaro que estés viendo o que estés considerando o si es la palabra "pájaro". Y lo mismo con "auto azul".
Me refiero a "pájaro" al ave como tal, "auto azul" a un carro de color azul. O sea, quería meter en el segundo conjunto \( A \) números enteros y objetos de la vida real. Bajo esta premisa, ¿sigue siendo válido definir \( A=\{1,\text{pájaro},-3,\text{auto azul}\} \)?
En ZFC se puede formalizar cualquier cosa, siempre y cuando tengas claro lo que quieres. ¿Qué es una especie? Dímelo informalmente y veremos cómo formalizarlo.
Que dos objetos pertenezcan a la misma especie significa que tienen algo en común, como si fuera una clase de equivalencia dicho de manera informal. Por eso he visto que en el libro de la universidad escriben:
¿Qué es un conjunto? Es una colección de objetos de una misma especie.
Los objetos que forman un conjunto reciben el nombre de ELEMENTOS.
Sobre la misma cita resalto:
En ZFC se puede formalizar cualquier cosa, siempre y cuando tengas claro lo que quieres. ¿Qué es una especie? Dímelo informalmente y veremos cómo formalizarlo.
Aquí me parece que me habías dicho lo contrario:
Me interesa esto. En ZFC, ¿cuál es la definición de conjunto? Esa que es más abstracta que lo que uno podría imaginarse de lo que representa un conjunto.
Ninguna. ZFC está determinado por unos axiomas que hablan de conjuntos, pero no los definen. Son axiomas que dicen:
Dos conjuntos con los mismos elementos son iguales.
Dados dos conjuntos, existe otro que los tiene por elementos.
Y más cosas así, pero sin decir nunca qué es un conjunto o qué es ser elemento de un conjunto.
Y a partir de esos axiomas se puede demostrar la existencia de muchos conjuntos. Algunos tienen una interpretación intuitiva directa, como el conjunto de los números naturales, o el conjunto de los números racionales, etc. Pero en ZFC también se pueden definir conjuntos mucho más abstractos, como los cinco trocitos en los que se puede dividir una esfera de radio 1 para que, debidamente recombinados, formen dos esferas de radio 1. Esos conjuntos no tienen ninguna interpretación intuitiva.
Quizás si pones la definición formal y luego lo defines con palabras, podamos hacer una representación de lo que es, para poder entenderla gráficamente.
No hay definición alguna. Los axiomas de ZFC dicen las propiedades que cumplen los conjuntos, no definen lo que es un conjunto.
Saludos
Estaba ojeando el texto de Carlos en pdf sobre análisis no estándar (está muy bien). Y también tengo algunas dudas al respecto.
En el pdf se dice, desde un principio, que en teoría de conjuntos sólo existen conjuntos, que los elementos de un conjunto son también conjuntos, y que la teoría no admite la construcción de ciertos conjuntos problemáticos (el conjunto de todos los conjuntos, etc).
Por tanto, tenemos que la teoría de conjuntos va sólo de conjuntos y cómo se relacionan (operan) entre sí. Para estipularlo están los axiomas. Y en concreto tenemos el axioma de especificación dónde se dice:
"Aquí hemos empleado por primera vez la expresión propiedad interna para referirnos, concretamente, a cualquier propiedad que pueda expresarse exclusivamente en t´erminos del signo 2 y de conceptos lógicos, como “y”, “o”,“si. . . entonces. . . ”, “existe”, “para todo”, “=”, etc. Esto significa que, por ejemplo, no podemos definir el conjunto de todos los conjuntos que son “verdes”, ya que “verdes” no es un concepto definido a partir de 2 y de conceptos lógicos."
Y luego, después de avanzar que podemos generar conjuntos mediante unión/intersección de otros conjuntos previos se dice: "Ahora bien, una vez dispongamos de estos conceptos básicos, el único principio general de formaci´on de conjuntos que vamos a necesitar (y el único que tendremos derecho a usar si no queremos caer en contradicciones) ser´a el axioma de especificación."
Por tanto es este axioma de especificación el que dota de propiedades a los conjuntos (y por tanto también a los elementos, dado que no son más que conjuntos). Es decir, este axioma configura y define los conjuntos.
Luego el texto presenta como existente el conjunto vacío, la inducción de conjuntos y, con ella, el conjunto infinito. Además de presentar los axiomas de unión/intersección, la existencia del conjunto de par y la existencia del conjunto potencia.
Por tanto, en esencia lo que se nos dice el axioma de especificación es el único que puede definir un conjunto que no sea el conjunto vacío o surja de la unión/intersección de conjuntos ya existentes, o surja por inducción de conjuntos ya existentes o surja por partición de conjuntos ya existentes (como conjunto potencia).
Por ejemplo, el conjunto de los naturales surje a partir del conjunto vacío, que determina el conjunto 0 como primer elemento de los naturales. Luego por el conjunto potencia del conjunto vacío obtenemos el conjunto número 1. Y por inducción de este proceso vamos generando todos los demás naturales como conjuntos, y con el axioma del conjunto infinito, se genera el conjunto de todos los naturales.
Vale, lo que no termino de estar seguro es como surgen conjuntos de fracciones o de irracionales a partir de estos axiomas? A partir de los naturales, mediante el axioma de especificación, se puede generar un irracional?
Saludos
