[petras]

En la extensión del lado PS de un cuadrado \( PQRS \), se marca el punto \( T \), de modo que \( QT  \)intersecta al
diagonal \( PR \) en el punto \( E \). Si \( QE = ST \), determine el valor en grados de la medida del \( \angle QEP \).

[delmar]

Hola

Spoiler

Expongo una forma vectorial o cartesiana (se puede adaptar) ahí va :

Considerando eje X la recta PS, el eje Y la recta PQ (origen P), cualquier recta r que pasa por Q y que atraviese el cuadrado se puede poner vectorialmente como \( \vec{r(t)}=(0,L)+t(sen \theta, -cos \theta)=(t \  sen \theta,L - t \ cos \theta), \ \ t\in{R} \) donde \( \theta=\angle EQP, \ \ 0\leq{\theta}\leq{\pi/2} \) su intersección con la recta PR (diagonal del cuadrado) implica igualdad de sus coordenadas, entonces    \( t \ sen \theta=L-t \  cos \theta\Rightarrow{t=\displaystyle\frac{L}{sen \theta+cos \theta}} \) este parámetro es positivo y evidentemente \( QE=t \), la intersección de la recta r con el eje de las abscisas, punto T implica que las coordenadas cumplen \( L-t' \ cos \theta=0\Rightarrow{t'=\displaystyle\frac{L}{cos \theta}} \), en consecuencia el punto T será  \( (\displaystyle\frac{L \ sen \theta}{cos \theta}, 0) \) la condición \( QE=ST \) implica :

\( \displaystyle\frac{L}{sen \theta+cos \theta}=\displaystyle\frac{L \ sen \theta}{cos \theta}-L\Rightarrow{sen \theta-cos \theta=\displaystyle\frac{cos \theta}{sen \theta+cos \theta}}\Rightarrow{2cos ^2 \theta+cos \theta-1=0} \) resolviendo y considerando que el coseno ha de ser positivo se tiene :

\( cos \theta=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{\theta=60º}\Rightarrow{\angle QEP=75º} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola

Spoiler

Expongo una forma vectorial o cartesiana (se puede adaptar) ahí va :

Considerando eje X la recta PS, el eje Y la recta PQ (origen P), cualquier recta r que pasa por Q y que atraviese el cuadrado se puede poner vectorialmente como \( \vec{r(t)}=(0,L)+t(sen \theta, -cos \theta)=(t \  sen \theta,L - t \ cos \theta), \ \ t\in{R} \) donde \( \theta=\angle EQP, \ \ 0\leq{\theta}\leq{\pi/2} \) su intersección con la recta PR (diagonal del cuadrado) implica igualdad de sus coordenadas, entonces    \( t \ sen \theta=L-t \  cos \theta\Rightarrow{t=\displaystyle\frac{L}{sen \theta+cos \theta}} \) este parámetro es positivo y evidentemente \( QE=t \), la intersección de la recta r con el eje de las abscisas, punto T implica que las coordenadas cumplen \( L-t' \ cos \theta=0\Rightarrow{t'=\displaystyle\frac{L}{cos \theta}} \), en consecuencia el punto T será  \( (\displaystyle\frac{L \ sen \theta}{cos \theta}, 0) \) la condición \( QE=ST \) implica :

\( \displaystyle\frac{L}{sen \theta+cos \theta}=\displaystyle\frac{L \ sen \theta}{cos \theta}-L\Rightarrow{sen \theta-cos \theta=\displaystyle\frac{cos \theta}{sen \theta+cos \theta}}\Rightarrow{2cos ^2 \theta+cos \theta-1=0} \) resolviendo y considerando que el coseno ha de ser positivo se tiene :

\( cos \theta=\displaystyle\frac{1}{2}\Rightarrow{\theta=60º}\Rightarrow{\angle QEP=75º} \)

[cerrar]

Saludos

Agradecido

¿Habría una solución usando geometría plana

Saludos

[Pie]

Otra forma:

Spoiler

Como \( QE = ST \), y \( QE = ES \), entonces \( ES = ST \), con lo que el triángulo \( \triangle{}EST \) es isósceles. Entonces como todos los ángulos marcados en azul son iguales:



Llamando \( \alpha  \) a dicho ángulo, por el triángulo \( \triangle{}EST \) se tiene que:

\[ 90^o + \alpha + 2\alpha = 180^o \Longrightarrow{\alpha = 30^o} \]

Por lo que \[ \angle EAR = \angle SAT = 60^o \]

Y \[ \angle QEP = \angle REA = 180^o - (45^o + 60^o) = 75^o \]

[cerrar]

Saludos.

Editado. Que me compliqué tontamente, para variar.

[petras]

Otra forma:

Spoiler

Como \( QE = ST \), y \( QE = ES \), entonces \( ES = ST \), con lo que el triángulo \( \triangle{}EST \) es isósceles. Entonces como todos los ángulos marcados en azul son iguales:



Llamando \( \alpha  \) a dicho ángulo, por el triángulo \( \triangle{}EST \) se tiene que:

\[ 90^o + \alpha + 2\alpha = 180^o \Longrightarrow{\alpha = 30^o} \]

Por lo que \[ \angle EAR = \angle SAT = 60^o \]

Y \[ \angle QEP = \angle REA = 180^o - (45^o + 60^o) = 75^o \]

[cerrar]

Saludos.

Editado. Que me compliqué tontamente, para variar.

Agradecido


¿Por qué QE=ES?

SAludos

PR es una bisectriz y por lo tanto QE y ES están a la misma distancia

[ani_pascual]

Hola:

En la extensión del lado PS de un cuadrado \( PQRS \), se marca el punto \( T \), de modo que \( QT  \)intersecta al
diagonal \( PR \) en el punto \( E \). Si \( QE = ST \), determine el valor en grados de la medida del \( \angle QEP \).

Otra forma:

Spoiler

Llamando \( \alpha=\widehat{QEP},\,\beta=\widehat{RCE} \) y \( L \) al lado del cuadrado, se tiene la semejanza de los siguientes triángulos \( \triangle{PQE}\sim \triangle{RCE},\,\,\,\triangle{QRC}\sim\triangle{TSC} \). Por tanto, \( \dfrac{\overline{RC}}{L}=\dfrac{\overline{CE}}{\overline{QE}}\Longrightarrow\overline{RC}=\dfrac{\overline{CE}\cdot L}{\overline{QE}}= \dfrac{\overline{CE}\cdot L}{\overline{ST}} \) y por otro lado, \( \dfrac{\overline{RC}}{\overline{SC}}=\dfrac{L}{\overline{ST}}\Longrightarrow\overline{RC}=\dfrac{\overline{SC}\cdot L}{\overline{ST}} \). Igualando, \( \dfrac{\overline{CE}\cdot L}{\overline{ST}}=\dfrac{\overline{SC}\cdot L}{\overline{ST}}\Longrightarrow \overline{CE}=\overline{SC} \), luego el triángulo \( \triangle{ECS} \) es isósceles.  Como los triángulos \( \triangle{PQE}\equiv \triangle{PSE} \) son congruentes, por tener tres lados iguales, se deduce que \( \left\{ \begin{array}{l}180^{\circ}-2\alpha=90^{\circ}-\beta\\\alpha+\beta+45^{\circ}=180^{\circ}\end{array}\right. \Longrightarrow \boxed{\alpha=75^{\circ}} \)

[cerrar]

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

¿Por qué QE=ES?
PR es una bisectriz y por lo tanto QE y ES están a la misma distancia

¿Estás seguro de que es esa la razón? Los segmentos \( \overline{QE} \) y \( \overline{ES} \) no son perpendiculares a los segmentos \( \overline{PQ} \) y \( \overline{PS} \) respectivamente. Yo creo que es porque los triángulos \( \triangle{PQE} \) y \( \triangle{PSE} \) son congruentes por tener dos lados iguales (uno de ellos común) y el ángulo comprendido igual.

Otra forma:

Spoiler

Como \( QE = ST \), y \( QE = ES \), entonces \( ES = ST \), con lo que el triángulo \( \triangle{}EST \) es isósceles. Entonces como todos los ángulos marcados en azul son iguales:



Llamando \( \alpha  \) a dicho ángulo, por el triángulo \( \triangle{}EST \) se tiene que:

\[ 90^o + \alpha + 2\alpha = 180^o \Longrightarrow{\alpha = 30^o} \]

Por lo que \[ \angle EAR = \angle SAT = 60^o \]

Y \[ \angle QEP = \angle REA = 180^o - (45^o + 60^o) = 75^o \]

[cerrar]

Sé que es cierto, pero ¿cómo pruebas que \( \overline{EC}=\overline{CS} \), es decir, que el triángulo \( \triangle{ECS} \) es isósceles?
Saludos

[Pie]

Sé que es cierto, pero ¿cómo pruebas que \( \overline{EC}=\overline{CS} \), es decir, que el triángulo \( \triangle{ECS} \) es isósceles?
Saludos

A ver cuál de estos puntos no te convence.

\( \angle ESR = \angle RQE \) (por ser triángulos congruentes)

\( \angle RQE = \angle STE \) (rectas paralelas)

\( \angle STE = \angle TES  \) (porque \( ES = ST \))

Entonces no queda más remedio que  \( \angle TES = \angle ESR \). 

Saludos.

[ani_pascual]

A ver cuál de estos puntos no te convence.

\( \angle ESR = \angle RQE \) (por ser triángulos congruentes)

Este es el punto clave que no había terminado de ver. Yo lo había deducido de otra forma (lo puedes ver en el spoiler de un mensaje anterior).
Gracias por la aclaración 
Saludos

[petras]

Agradecido a todos

Saludos