[Farifutbol]

Estaba leyendo la historia de los números complejos y como Bombelli los encuentra resolviendo la ecuación de tercer grado \( x^3=15x+4 \). Despues de resolverla llega a
\( \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}+\sqrt[ 3]{2-\sqrt{-121}}} \) lo que nosotros escribiríamos como
\( \sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i} \)
Y que resolviendo las raíces encuentra las tres soluciones reales \( x_1=4,x_2= -2+\sqrt{3}, x_3=-2-\sqrt{3} \)
¿Cómo consigue llegar a estas soluciones?

[martiniano]

Hola.

La manera más sencilla diría que es factorizando el polinomio usando la regla de Ruffini y tanteando con los divisores de 4.

[ancape]

Hola

Si factorizamos \( x^3-15x-4=(x-4)(x^2+4x+1) \) cuyas raíces son \( x=4 \) y las de \( x^2+4x+1 \) ecuación de 2º grado.

Saludos

[Fernando Revilla]

Estaba leyendo la historia de los números complejos y como Bombelli los encuentra resolviendo la ecuación de tercer grado \( x^3=15x+4 \). Despues de resolverla llega a \( \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}+\sqrt[ 3]{2-\sqrt{-121}}} \) lo que nosotros escribiríamos como \( \sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i} \) Y que resolviendo las raíces encuentra las tres soluciones reales \( x_1=4,x_2= -2+\sqrt{3}, x_3=-2-\sqrt{3} \)  ¿Cómo consigue llegar a estas soluciones?

Si quieres hallar correctamente las soluciones \( x \) de la ecuación \( x^3+px+q=0 \) (sin aplicar la regla de Ruffini) has de elegir

        \( x=\displaystyle \underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta} \)
 
cumpliéndose la condición \( \alpha\beta=-p/3 \). Aquí tienes todo el desarrollo:

         https://fernandorevilla.es/2014/11/29/ecuacion-de-tercer-grado/

[Farifutbol]

Estaba leyendo la historia de los números complejos y como Bombelli los encuentra resolviendo la ecuación de tercer grado \( x^3=15x+4 \). Despues de resolverla llega a \( \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}+\sqrt[ 3]{2-\sqrt{-121}}} \) lo que nosotros escribiríamos como \( \sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i} \) Y que resolviendo las raíces encuentra las tres soluciones reales \( x_1=4,x_2= -2+\sqrt{3}, x_3=-2-\sqrt{3} \)  ¿Cómo consigue llegar a estas soluciones?

Si quieres hallar correctamente las soluciones \( x \) de la ecuación \( x^3+px+q=0 \) (sin aplicar la regla de Ruffini) has de elegir

        \( x=\displaystyle \underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\alpha}+\underbrace{\sqrt [3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}}_{\beta} \)
 
cumpliéndose la condición \( \alpha\beta=-p/3 \). Aquí tienes todo el desarrollo:

         https://fernandorevilla.es/2014/11/29/ecuacion-de-tercer-grado/

Exactamente es lo que he hecho, pero mi problema es como acabo, se lo que valen \( \alpha \) y \( \beta  \) , pero ¿cómo resuelvo \( \sqrt[3]{2+11i} \) por ejemplo?

[Fernando Revilla]

Exactamente es lo que he hecho, pero mi problema es como acabo, se lo que valen \( \alpha \) y \( \beta  \) , pero ¿cómo resuelvo \( \sqrt[3]{2+11i} \) por ejemplo?

No entiendo tu pregunta, \( \alpha=\sqrt[3]{2+11i} \) son tres valores \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \) y \( \beta=\sqrt[3]{2-11i} \) otros tres \( \beta_1,\beta_2,\beta_3 \). ¿Has conseguido hallarlos? Por ejemplo \( \alpha_1=2+i \) y \( \beta_1=2-i \) cumpliendose \( \alpha_1\beta_1=5=-p/3 \), ahora aplica la fórmula

        \( \begin{aligned}& x_1=\alpha_1+\beta_1\\

& x_2=\alpha_1\epsilon+\beta_1\epsilon^2\\

& x_3=\alpha_1\epsilon^2+\beta_1\epsilon.\end{aligned} \)

del enlace que te di.

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo tu pregunta, \( \alpha=\sqrt[3]{2+11i} \) son tres valores \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \) y \( \beta=\sqrt[3]{2-11i} \) otros tres \( \beta_1,\beta_2,\beta_3 \).

A lo mejor se refiere a que no sabe calcular las raíces enésimas de un número complejo.

Saludos.

[Fernando Revilla]

A lo mejor se refiere a que no sabe calcular las raíces enésimas de un número complejo.

Es posible, veamos que especifica Farifutbol.

[Farifutbol]

Si sé calcular las raices n-esimas de un número complejo con calculadora para calcular el argumento, pero como hacían ellos para calcularlas, \( arctg\displaystyle\frac{11}{2} \) y despues
\(  \displaystyle\frac{arctg \displaystyle\frac{11}{2}+2\pi k}{3} \) lo dudo, no?

[Fernando Revilla]

Si sé calcular las raices n-esimas de un número complejo con calculadora para calcular el argumento, pero como hacían ellos para calcularlas, \( arctg\displaystyle\frac{11}{2} \) y despues \(  \displaystyle\frac{arctg \displaystyle\frac{11}{2}+2\pi k}{3} \) lo dudo, no?

Es que no es factible dar una fórmula cerrada cómoda para las raíces cúbicas con tamaño argumento. Supongo que el artículo que has leído es

       https://matbus.wordpress.com/2018/01/03/rafael-bombelli-el-matematico-que-invento-los-numeros-complejos/

Este artículo no da la suficiente información para su comprensión salvo conocimientos posteriores. Descubre Bombelli que \( (2+i)^3=2+11i \) y que \( (2-i)^3=2-11i \) con lo cual ya tiene una raíz cúbica \( \alpha_1 \) de \( 2+11i \) y otra \( \beta_1 \) de \( 2-11i \) cuyo producto es \( -p/3 \). La suma

        \( x_1=\alpha_1+\beta_1=(2+i)+(2-i)=4 \)

es por tanto una solución de \( x^3 = 15 x+4 \) y las otras dos son la \( x_2 \) y \( x_3 \) que comenté en un mensaje anterior. Es decir, no hace falta hallar las tres raíces cúbicas.