Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Sea la siguiente expresión
\( \displaystyle z=\frac{[f_1^2(x)+y\cdot f_2(x)]^{3/2}}{f_1^2(x)+2\cdot y \cdot f_2(x)-y\cdot f_1(x)\cdot f_2(x)} \)
se desea hallar el mínimo de \( z \).
Como las funciones \( f_1 \), \( f_2 \) y \( f_3 \) no están definidas surgió la idea de pasar la variable \( y \) (o una función de ella) al miembro de la izquierda.
No veo ninguna función \( f_3 \).
Si llamas \( a=f_1(x) \) y \( b=f_2(x) \) tienes;
\( z(y)=\dfrac{(a^2+by)}{a^2+y(2b-ab)} \)
La derivada te queda:
\( z'(y)=\dfrac{b \sqrt{a^2+b y} \left(2 a^3-a^2-a b y+2 b y\right)}{2 \left(a^2-a b y+2 b y\right)^2} \)
Se anula para:
\( y_1=\dfrac{a^2}{-b} \) y ahí \( z(y_1)=0 \).
y para \( y_2=\dfrac{2 a^3-a^2}{(a-2) b} \).
Entonces los candidatos a mínimo son \( z(y_1),z(y_2) \) o puede ser que no exista el mínimo si la función no está acotada inferiormente. Por ejemplo si para algún valor de \( x \), \( 2f_1(x)-f_1(x)f_2(x)<0 \), entonces \( \displaystyle\lim_{y \to{+}\infty}{}z(y)=-\infty \).
Evidentemente además esos posibles mínimos dependen de \( a,b \), es decir, todavía quedaría trabajar en función de las funciones \( f_1(x),f_2(x) \), pero sin concretarlas poco más se puede decir (algo se podría, pero no se si vale la pena).
¿En qué contexto os surge esta cuestión?
Saludos.
