Hola
Hola a todos.
Me piden encontrar \( f(\mathbb{A}^{2}) \) donde \( f: \mathbb{A}^{2} \longrightarrow \mathbb{A}^{2} \) donde f es la aplicación regular dada por \( f(x,y)=(x,xy) \) obtuve que la imagen es todo el espacio 2-afin menos el eje y.
Cuidado, porque el origen está en el eje \( OY \) y también está en la imagen.
La pregunta es ¿Este conjunto es abierto y denso en la Topología de Zariski? A ambas respuesta conteste sí, pero no estoy seguro de como funciona la densidad en dicha topología. Gracias.
Funciona como en cualquier otro espacio topológico: un conjunto es denso si su clausura, es el espacio total. Equivalentemente si cualquier abierto lo corta.
Por otra parte los abiertos en la topología de Zariski son los complementarios de cerrados; y los cerrados los ceros de conjuntos de polinomios.
Entonces para que fuera abierto su complementario, es decir, el eje \( OY \) menos el origen debería de ser cerrado. Pero entonces tal conjunto debería de ser el conjunto de ceros de un número finito de polinomios; pero por continuidad cualquier polinomio que se anule en el eje menos el origen también debe de anularse en el origen. Por tanto ese complementario no es cerrado y así el conjunto imagen no es abierto.
En cuanto a la densidad: una propiedad típica de la topología de Zarisky en un espacio afín sobre un cuerpo infinito es que todo abierto es denso. ¿Te lo han demostrado?.
Después ten en cuenta que el abierto \( \Bbb A^2-\{(x,y)|x=0\} \) está contenido en \( Im(f) \); por tanto si el primero es denso el segundo también.
Saludos.
