¿Qué se entiende aquí exactamente por "camino segmentado"?
En cualquier caso, una idea. De derecha a izquierda es fácil porque "se pueden unir por caminos" (segmentados o no) quiere decir que es conexo por caminos, y conexo por caminos implica conexo.
De izquierda a derecha. Toma un punto \[ p \in U \] cualquiera y considera \[ A = \{ q \in U \mid p \text{ se puede unir por un camino segmentado con } q\} \]. La idea es probar que \[ A \] es no vacío, que es abierto y que es cerrado. Entonces por la conexión de \[ Q \] tendrás \[ Q=A \] y por tanto \[ p \] se puede unir con cualquier otro punto por un camino segmentado. Como \[ p \] era arbitrario, tienes el resultado.
Para ver que \[ A \] es abierto y cerrado, tienes que probar primero que \[ \Bbb R^2 \] es "localmente conexo por caminos segmentados", es decir, que dado un punto \[ q \] cualquiera de \[ \Bbb R^2 \] siempre puedes elegir un entorno abierto (tan pequeño como quieras) tal que se puede unir \[ q \] con cualquier punto del entorno usando "caminos segmentados". Una vez tienes esto, es inmediato que \[ A \] es abierto (usando que la concatenación de dos "caminos segmentados" es otro "camino segmentado"). Que \[ A \] es cerrado se ve probando que el complemento es abierto: si tienes un punto que no se puede unir con \[ p \] por un camino segmentado, entonces hay un entorno de puntos que tampoco se pueden unir. La idea es que si algún punto de ese entorno se puediera unir con \[ p \], puedes extender el camino a otro que llega hasta \[ p \].
