[Fran Colegiales]

Hola argentinator: Te envío los primeros ejercicios que estuve haciendo para que me corrijas.

Ejercicios Anexos 1.1

Ejercicio Anexo.1.1.a:

\( A_1\cap A_2\cap \cdots A_n:= \{x:x\in A_1\textsf{\ y\ }x\in A_2\textsf{\ y\ }\cdots \textsf{\ y\ }x\in A_n\} \)

Ejercicio Anexo.1.1.b:

\( A_1\cap A_2\cap \cdots A_n:= \{x:\forall{k\in\{1,2,\cdots,n\}}(x\in A_k)\} \)

Ejercicio Anexo.1.1.c:

\( \bigcap_{\iota \in I} A_\iota := \{x:\forall{\iota \in I}(x\in A_\iota )\} \)

Ejercicio Anexo.1.1.d

Definiciones:

Conjuntos Disjuntos
\( A \) y \( B \) son disjuntos si y sólo si todo elemento \( x \in A \) no está en \( B \), y también todo \( x \in B \)   no está en \( A \).

Traducción: A y B son disjuntos \(  \Leftrightarrow \forall{x} ((x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B}) \wedge (x\in{B}\Rightarrow{x\not\in{A})) \)

Conjunto Vacío

\( \emptyset := C \Leftrightarrow  \forall{x}(x \notin C)  \)


Demostración:
A y B son disjuntos
\(  \Leftrightarrow \forall{x} ((x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B}) \wedge (x\in{B}\Rightarrow{x\not\in{A})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x} (x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}\ \sim(x\in A \wedge{x\in{B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}\ \sim(x\in A \cap B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}\ (x\notin A \cap B})  \)
\( \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset   \)

(PD: No puedo ver bien mi mensaje antes de enviarlo, la ventana de previsualización es muy chiquita, se puede agrandar?)

Muchas gracias. Saludos.

[argentinator]

1.a y 1.b están bien.

El 1.c no tiene correctas las equivalencias lógicas.

Son pocos los casos en que un "si y solo si" puede probarse directamente con conectores \( \Leftrightarrow{} \).
Lo más común es demostrar una doble implicación.

En este caso sin embargo puede hacerse.

No obstante, hay errores en los pasos intermedios.
No se puede poner la negación en la forma en que lo hiciste.

Voy a usar las leyes de De Morgan (que valen análogamente para relaciones lógicas tanto como para conjuntos) y la equivalencia \( (p\Rightarrow{q})\Longleftrightarrow{(\sim p\vee q)} \).


\( A,B \) disjuntos
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} ((x\in{A}\Rightarrow{x\not\in{B}) \wedge (x\in{B}\Rightarrow{x\not\in{A})  \)
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} (\sim x\in{A}\vee {x\not\in{B})\wedge (\sim x\in{B}\vee {x\not\in{A})   \)
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} (\sim x\in{A}\vee {\sim x \in{B})\wedge (\sim x\in{B}\vee {\sim x \in{A})   \)
\(  \Leftrightarrow{} \forall{x} \sim( x\in{A}\wedge{ x \in{B})\wedge \sim (  x\in{B}\wedge{ x \in{A})   \)
\( \Leftrightarrow{ } \forall{x}  \sim(x\in A \wedge{x\in{B})  \)
\( \Leftrightarrow \forall{x}  (x\not\in A \cap B})  \)
\( \Leftrightarrow A \cap B = \emptyset   \)

[argentinator]

(PD: No puedo ver bien mi mensaje antes de enviarlo, la ventana de previsualización es muy chiquita, se puede agrandar?)

Este problema ocurre en Chrome.
En otros navegadores no hay problemas.
Siempre ha sido así.
No sé si sea posible repararlo.

Habría que preguntar a la Administración sobre el asunto.

[feriva]

Hola, Argentinator. Este signo  \( \sim \) ¿se interpreta como "parecido a"? Por qué es necesario usarlo en la demostración de los conjuntos disjuntos que has puesto. Es algo que no recuerdo (de las muchas cosas que no recuerdo, vamos).

 Saludos.

[argentinator]

Ehhhh, cuando uno está acostumbrado a responder dudas, aprende a "adivinar" el significado de los signos que usa el que pregunta.

A los fines de los dos posts anteriores (pregunta y respuesta), el signo \( \sim \) significa "operador de negación lógica".

Si aparece así en otros lugares del Universo, vaya uno a saber.

[feriva]

Ehhhh, cuando uno está acostumbrado a responder dudas, aprende a "adivinar" el significado de los signos que usa el que pregunta.

A los fines de los dos posts anteriores (pregunta y respuesta), el signo \( \sim \) significa "operador de negación lógica".

Si aparece así en otros lugares del Universo, vaya uno a saber.

Gracias. Ya te dije que algunos signos los tengo olvidados, pero es que los de lógica, en su inmensa mayoría, ni me los sé, no es que los tenga olvidados; ¿hay por ahí algún hilo o alguna web buena donde vengan traducidos a palabras sus significados?

 Gracias y un saludo.

[argentinator]

No sé.

Lo importante es aprender a razonar, no qué signo se usa.

Los signos son una convención, varían de libro a libro y de época en época.

[feriva]

No sé.

Lo importante es aprender a razonar, no qué signo se usa.

Los signos son una convención, varían de libro a libro y de época en época.

Pues tienes razón en eso de que cambian con el tiempo, porque ahora he mirado en Wikipedia las leyes de Morgan, y en vez de venir expresadas con el complementario "c" y tal, como yo las conocía, vienen con unas "L" tumbadas que ahora miraré a ver lo que quieren decir (me suenan de verlas aquí en algunos posts de lógica). Se ve que me tengo que poner al día y aprender esos signos.

Gracias.

[Fran Colegiales]

Hola Argentinator:

Acabo de leer la corrección. No estoy de acuerdo en que el signo de negación (en este caso usé \( "\sim{}" \) porque no podía poner "¬" en la fórmula. Es el signo que se usa en "Introducción a la lógica" de Copi, y en "Principia Mathematica" de Russell y Whitehead, pensé que sería usual) no pueda usarse así.
La versión que tengo de las reglas sintácticas de lógica de predicados (Sacadas de L.T.F. Gamut "Introducción a la lógica") dice: "Si \(  \varphi \) es una fórmula del lenguaje L, entonces \( \sim{} \varphi \) también lo es".
No alcanzo a ver el problema, ¿Tiene que ver con que esta regla es válida para lógica pero no para teoría de conjuntos?

Saludos.

[argentinator]

Fran, no te preocupes por los signos, que da igual, yo los entendí, y eso es todo.

El problema no son los signos, sino el razonamiento que usaste.
Pienso que tiene varios pasos incorrectos.

Si querés te digo en qué pasos pienso que están los errores,
pero podrías por ahora comparar con lo que hice yo.
Además, una manera de autocorregirse es preguntarse qué propiedad o ley lógica usaste en cada paso.

Las dos equivalencias lógicas que usé, las especifiqué claramente antes de empezar la deducción.
Además, me tomé un tiempo para "traducir" algo como \( x\not\in A \) a la forma \( \sim(x\in A) \), que es mera cuestión de notación, pero quería "uniformar" para que se vea clarito el cálculo deductivo.

Saludos