En Teoría de conjuntos todos los objetos que aparecen son conjuntos, incluyendo a los elementos de esos conjuntos.
Una familia de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son otros conjuntos.
Como dije que todo es un conjunto, formalmente es confuso, porque pareciera que todo conjunto (no vacío) puede considerarse una familia de conjuntos.
Y de hecho, es así, lamentablemente.
Así que las familias de conjuntos se usan más bien en un modo informal, para expresar la idea intuitiva de conjunto de conjuntos o colecciones de colecciones, etc.
Se supone en general que uno está trabajando con cierto conjunto \( X \), y de vez en cuando toma algunos subconjuntos de \( X \).
Le interesa luego trabajar con "muchos" de tales subconjuntos a la vez.
Toma, pues, un conjunto cuyos elementos son subconjuntos de \( X \). A eso se lo suele llamar familia de conjuntos.
Finalmente, las familias de conjuntos se suelen "describir" con una notación especial, en forma de función subindicada...
Supongamos que tengo un conjunto de índices \( I \) y que a cada elemento \( \iota \in I \) se le hace corresponder un cierto conjunto \( A_\iota \).
El resultado de esto es una función que a cada elemento \( \iota \in I \) asigna el objeto \( A_\iota \).
Esta función tiene un "rango" o sea, un "conjunto de imágenes".
Ese conjunto está formado por todos los conjuntos \( A_\iota \), y es a él que se le llama una "familia de conjuntos".
Dicha familia se denota usualmente así: \( \{A_\iota \}_{\iota \in I} \).
También se la puede denotar así: \( \{A_\iota :\iota \in I\} \).
También podemos decir que hay un "conjunto de conjuntos" \( \mathcal A \) tal que un elemento \( E\in\mathcal A \) si y sólo si \( E \) es un conjunto de la familia \( \{A_\iota :\iota \in I\} \).
O mejor dicho, si y sólo si existe \( \iota\in I \) tal que \( E=A_\iota \).
A veces se puede entender o decir que la "familia" de conjuntos es justamente esta "función", y no el conjunto de llegada en sí.
Como sea, la función es sólo un modo de describir paramétricamente quiénes son los elementos del susodicho "conjunto de conjuntos".
Esto es deseable cuando uno usa alguna propiedad para definir la familia.
Como ves, en este asunto hay muchas cuestiones de terminología, notación e interpretación.
Pero lo único "real" son los "conjuntos" y los "conjuntos de conjuntos".
Después hay diversos modos de describirlos, anotarlos, o interpretarlos.
Uno no tiene que dejarse confundir.
Saludos
