Hola, Víctor Luis, buenas tardes.
Entre Intervalos, considero no válido el aplicar: Multiplicacion, Division u otros ... En un producto: m=(p*q) el punto medioesta dado por la "raiz cuadrada"
Pues las raíces uso; y algo más; porque o sí considero multiplicar números.
Lo que digo es que en el intervalo (0,n) tienes factores para elegir dos y multiplicarlos, de manera que puedes encontrar así todos los libres de cuadrados del intervalo (n.2n) y otros más (como podría ser el 4*3, para cierto “n”; que no es libre de cuadrado porque 12 no lo es, pero también se puede considerar).
Pero además, si consideramos los productos de los números por sí mismos (2*2), (3*3). etc,. es decir, los cuadrados perfectos (que supone usar combinaciones con repetición) vamos a tener con esos productos todos, todos los números que hay en (n,2n) más otros que se salen o no llegan al intervalo.
Y sí, son intervalos eso que haces tomando las raíces; en este caso basta con la parte entera de las raíces porque estamos considerando números naturales.
El por qué basta tomar el producto de sólo dos números del intervalo que digo lo demostré en su día y te lo expliqué.
Te lo recuerdo con un ejemplo:
\( {\color{red}0,1},(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),{\color{blue}13},(14,15,16,117,18,19,20,21,22,23,24,25),{\color{red}26}
\)
Para esta cuestión quitamos también el 1, es decir, tomo (1,n) en vez de (0,n) porque 1 multiplicado por cualquier número menor que “n” va a estar en ese intervalo, no en el siguiente.
En primer lugar, vemos que necesitamos repeticiones en los productos, como 4*4 para obtener 16, pero también vemos que ya no puede haber otra potencia perfecta de 2 en el intervalo (n, 2n), que en este caso es (13,26).
La razón de ello es que si existe una potencia de dos \( 2^k \) (o potencia de cualquier número que no sea 2) en el intervalo \( (n,2n)
\), entonces obviamente \( 2^{k}>n
\); y si existiera otra potencia tendríamos \( n<2^{k}<2^{m}\Rightarrow2^{m}>2n \); y saldría del intervalo, no puede estar ahí (esto te lo expliqué y estuviste muy de acuerdo, ¿recuerdas?).
(ahí he editado, que había puesto al revés algunos signos de desigualdad)En este ejemplo tenemos \( 2^{4}=16
\), y no tenemos ninguna de las otras por pequeñas o por grandes: no tenemos a \( 2^{2}
\) ni a \( 2^{3}
\) ni a \( 2^{5}
\)... esto es imposible (con 2 u otro número de (n,2n).
Ahora voy a demostrar que no voy a necesitar el producto más de dos factores para obtener cualquier número de (n,2n).
Supongamos por reducción al absurdo que necesitáramos usar tres factores para el producto y no menos; sean los factores a*b*c.
Esos tres factores habrán de estar contenidos en (1,n) pues si alguno estuviera contenido en (n,2n) sería mayor que “n” y, al estar multiplicado por otros dos números, el compuesto sería mayor que 2n y no estaría en (n,2n); obvio, evidente.
Ahora supongamos, por ejemplo, que el producto de dos de ellos, (a*b), está en (n,2n); entonces al multiplicarlo por “c” el compuesto c(a*b) también sería mayor que 2n (aunque “c” valiera 2, que es lo menos que puede valer).
En resumidas cuentas, si \( abc\in(n,2n)
\), ni “ab”, ni “bc”, ni “ac” pueden estar en (2,n) y, por tanto, están en (1,n).
En conclusión, tendremos siempre dos factores, que podrán ser varios asociando de distintas maneras y dar un mismo número como producto: a(bc) ó b(ac) etc.
Para más de tres factores la demostración de la imposibilidad es análoga (e igualmente obvia). Es decir, en todo caso podremos dejarlos en dos factores asociando de manera similar (abc)*d... o lo que sea.
Así que, como ves, con sólo dos factores tendremos todos los compuestos de (n,2n).
Y queda demostrado (distinto es que hayas entendido o no la demostración; si tienes dudas, lo discutimos o le pedimos a un matemático que lo explique él de forma más rigurosa).
Ahora volvamos al ejemplo que teníamos, lo pego otra vez, para hacer la cuenta a modo de “demostración” empírica también.
\( {\color{red}0,1},(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12),{\color{blue}13},(14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25),{\color{red}26}
\)
Para ver cuáles entran, cuáles no llegan y cuáles se salen, tenemos que considerar la raíz de “n” y de “2n”; un poco más complicado que cuando se busca por tentativa la primalidad de un número.
La parte entera de la raíz de 13 es 3, esto quiere decir que si formamos productos con (2,3) todos se quedan en (1,n), son menores (y en este caso particular sólo tenemos tres productos de dos números, que dan 4,6 ó 9, que ya se ve que no pasan de 13).
Pero vemos que en este caso 3*4=12 tampoco entra; luego no basta con la raíz, también hay que probar a ver desde cuál entran.
Seguidamente vemos que la raíz de 26 (siempre haciendo referencia a la parte entera) es 5. Por tanto, salvo 5 cuadrado, todos los productos que podemos formar con éstos (5,6,7,8,9,10,12) no los consideramos porque son mayores que 2*n=26. Con esto nos quitamos unas cuantas combinaciones de encima.
Entonces hay que mirar estos (5,6,7,8,9,10,12) con (2,3,4).
Vemos que sirve 4*4.
El 5 sirve con el 3 y el 4, son dos productos que hacen ya 4 productos váildos (con el 5*5 y el 4*4 que teníamos).
El 6 sirve con el 3,4, hacen dos más y van 6.
El 7 sirve con el 2 y el 3, hacen dos más y van 8.
El 8 sirve con el 2 y el 3, otros dos que hacen 10
El 9 sólo vale con el 2, una más, hacen 9
El 10 también sólo con el dos, hacen 10
Lo mismo para el 11, hacen 11
Lo mismo para el 12, hacen 12.
Y ya hemos terminado.
12 es la cantidad de números que hay en el intervalo (13,26); lo calculas así, 26-13-1; o los cuentas directamente.
Ahí tienes todos los compuestos de (n,2n) tomando el producto de sólo dos números de (1,n); hay productos repetidos, si no, no cabrían los primos (al cantidad de primos es la cantidad de repeticiones, como también te dije al explicarte cómo contaba los primos con el método de inclusión-exclusión; el auténtico método feriva, que es muy pesado y largo
).
Pero la cuestión es que no falta ningún compuesto, lo de contar los primos es aparte.
Y cómo se colocan estos compuestos en el intervalo (n,2n); pues, evidentemente, de izquierda a derecha empezando por los productos más pequeños; donde quede hueco, ahí están los primos (“donde estén los buitres ahí estará el cuerpo”, que decía una frase bíblica).
Y ésta es la distribución de los primos tal cual; tú puedes usar nombres como los PIG, artificios; o números complejos o extensiones de series, como Reiamann... pero ¿qué es la distribución de los primos? Esto, y no hay más, lo otro (lo tuyo o cualquier otra cosa) no puede ser más que esto mismo con distintos vestidos; porque los primos tienen un secreto que viene a ser como el de la Esfinge del cuento de Wilde; distinta es la cuestión el tiempo que lleven los cálculos y las ambiciones que tengamos.
Mira, hablando de esto, el otro día me preguntas sobre calcular el resto de un Mersenne; pues fíjate: le doy esta cuenta al Python, usando base 2, la más pequeña, \( 2^{2^{500}-1}+1
\) (da igual que no sea primo) y me da error de memoria; sin intentar hallar ningún resto, sin ser primo... sólo intentado sumar 1 al número. Esto te demuestra que el “misterio” no está en sí en los primos, está en que hay cálculos que a los que no llegan las máquinas, aunque sea una suma.
Saludos.
