Hola
No consigo verlo. Veo lo contrario. Son condiciones más restrictivas. ¿No?
EDITADO.
Ah vale, disculpa. Cambiando la hipótesis \( f(a)=f(b) \) por la que has puesto. Aunque casi viene siendo la misma, esos límites son \( f(a) \) y \( f(b) \). No veo el relax.
Las hipótesis del teorema de Rolle usual son:
1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
3) \( f(a)=f(b) \).
Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:
A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R \).
B) \( f \) es
continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen
Y COINCIDEN los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) .
Las condiciones 1 y A) son las mismas.
Las condiciones 2) y 3) implican las condiciones B) y C), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle usual puedes aplicar mi versión; pero hay funciones a las que puedes aplicar la versión que propuse, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle usual.
Por ejemplo piensa en la función:
\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)
\( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in (-1,1)\\x & \text{si}& |x|=1\end{cases} \)
Saludos.
CORREGIDO.