Autor Tema: Aritmética de módulos y aplicación a criterios de divisibilidad

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06 Junio, 2010, 01:05 am
Respuesta #10

argentinator

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Congruencias

\( \bullet \) Definición (congruencia). Sean \( a, b \) números enteros cualesquiera, y sea \( d \) un entero positivo. Se dice que \( a,b \) son congruentes módulo \( d \) si al aplicar el algoritmo de la división, el resto \( r \) al dividir \( a \) por \( d \) es igual al resto de dividir \( b \) por \( d \). Más precisamente, si \( q,\tilde q,r,\tilde r \), satisfacen \( a=qd+r,b= \tilde q d+\tilde r \), \( 0\leq r,\tilde r< d \), entonces \( r=\tilde r \). En este caso se escribe la siguiente relación, llamada de congruencia módulo \( d \):

\( a\equiv b \; (mod\quad d) \)

Creo que se puede simplificar si usas la definicion \( a\equiv b\mod(d)\iff d\mid(a-b) \), al menos algunas de las propiedades las tienes gratis de usar las propiedades de la division (simetria, reflexividad, transitividad). Y lo mejor es que te ahorras todos los ~ :D

Como sabemos, toda relación de equivalencia induce una partición del conjunto total en clases de equivalencia.
En este caso, para un entero positivo d, el conjunto \( \mathbb{Z} \) de enteros queda particionado en \( d \) clases de equivalencia, que son:

\( [j]_d = \{j+dm| m\in\mathbb{Z}\},\qquad [tex]j\in\mathbb{Z} \)[/tex]


Te falto cerrar un [/tex]


--


Tal vez en el enunciado del TFA sea conveniente separar en dos partes: i) existencia de la factorizacion y ii) unicidad (salvo reordenamiento).


Ya arreglé estas cosas...
Además, justo tras la definición de congruencia agregué la definición que vos diste, que es la más usual, y así están ambas cosas juntas.
A mí también me gusta más tu definición, pero quería dejar resaltado quizás el papel del resto de la división en todo esto, y que de eso se trata la cuestión...

Lo engorroso del Teorema 2 lo arreglé poniendo las observaciones en spoiler.


Criterios de Divisibilidad

(...)

Para saber en con qué exponente se inicia el ciclo de repeticiones de restos, basta hallar el primer exponente entero positivo \( j \) tal que \( 10^{j+1}> d \).
El inicio de las repeticiones será ese exponente, o alguno de los anteriores, y en principio bastará hacer una búsqueda manual.
No voy a entrar en mayores detalles por ahora, quizá más adelante, si surge la inquietud en el público, se pueda ser más exacto.


Lo modifiqué así, espero que esté bien ahora (es una solución demasiado casera, pero bueno, todo es mejorable).

en el teorema 3, me parece que sería mejor directamente enunciarlo para divisores enteros no nulos (no necesariamente positivos), porque

Lo cambié a tu gusto

06 Junio, 2010, 01:07 am
Respuesta #11

argentinator

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Hola Topo, según tu útlima observación, creo que será mejor que directamente saque cualquier cosa relativa a las repeticiones.
Buscarlas a mano... y listo.
En algún momento empezarán.

06 Junio, 2010, 01:14 am
Respuesta #12

topo23

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06 Junio, 2010, 01:25 am
Respuesta #13

argentinator

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Bien, mientras escribía, algunas cosas me parecieron mejor si me restringía a divisores positivos.
Creo que porque cuando d es negativo el resto... es no negativo, y queda menor que el valor absoluto de d.
Y después las congruencias se pueden poner algo confusas si d es negativo.

De todos modos es muy posible que cambie el enunciado según tu sugerencia.

Puede ser... la congruencia yo siempre la estudié con módulo positivo, pero el algoritmo de división, generalizado a todo \( \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{\neq 0} \), y lo que se pedía era justamente eso, que el resto sea estríctamente menor que el módulo del divisor.

Después, una propiedad de congruencias (no estoy 100% seguro de que no esté incluida):

\( mcd (d_i:d_j)=1\quad\forall 1\leq i<j\leq k\quad\wedge\quad a\equiv_{d_i} b\quad\forall 1\leq i\leq k \Longleftrightarrow a\equiv_{d_1d_2...d_k} b \).

Y después, si definís el mcm, estaría bueno incluir que \( mcd (a:b)mcm (a:b)=ab \)

Lo que he puesto es la implicación hacia un lado, para el míniimo común múltiplo.
Si los mcd son todos 1, entonces el mcm es el producto de los divisores, y daría la igualdad que pusiste.
No entiendo lo del "si y sólo si".
Creo que habrás querido poner que "si todos los mcd son 1, entonces (a congruente b (mod d_i), todo i, si y solo si a congruente con b módulo el producto).

Sería bueno poner eso explícitamente.

06 Junio, 2010, 01:31 am
Respuesta #14

argentinator

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Después, una propiedad de congruencias (no estoy 100% seguro de que no esté incluida):

\( mcd (d_i:d_j)=1\quad\forall 1\leq i<j\leq k\quad\wedge\quad a\equiv_{d_i} b\quad\forall 1\leq i\leq k \Longleftrightarrow a\equiv_{d_1d_2...d_k} b \).


La agregué como Teorema 6 en el post de Congruencias.
Parece cierta, pero no me acuerdo si es verdad...  :P
Confié en vos y por eso la escribí. ¿Estás seguro que es verdad? Fijate como la enuncié si es lo que vos decías.

Otra cosa pepito: debo decir que me agreda tu forma de escribir todo simbólicamente... pero el mundo exterior protesta cuando se hacen las cosas así.
Al escribir artículos, libros, o también respuestas en el foro, puede ser intimidante usar notación simbólica pura.
Aunque odio decirlo (porque va en contra de mis sentimientos) hay que buscar un equilibrio entre "palabrerío" y "chirimbolaje".

Saludos

06 Junio, 2010, 01:33 am
Respuesta #15

argentinator

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06 Junio, 2010, 01:45 am
Respuesta #16

pepito

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Emmm... si, está mal escrito. Y ahora que veo la propiedad que pusiste, me parece que ni conviene agregar esta, porque la implicación en el otro sentido es obvia.

Lei mal. Ahora me tengo que ir, después subo la demostración bien.
"...parecido pero nada que ver"

06 Junio, 2010, 01:49 am
Respuesta #17

argentinator

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06 Junio, 2010, 06:35 am
Respuesta #18

pepito

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Tenés razón, me quedó medio mal escrito. Pero sí, lo que quise decir es exactamente eso. Para demostrarlo, conviene usar la propiedad/definición de congruencia \( a\equiv_m b \Leftrightarrow m\mid (a-b) \) y una propiedad de divisibilidad que convendría agregar (tal vez después de introducir el mcd) que dice que si \( mcd (x,y)=1 \) entonces \( x\mid z\quad\wedge\quad y\mid z \quad\Longleftrightarrow\quad xy\mid z \)

Después, un par de cositas más que se podría agregar:

1) Aclarar en la identidad de Bezout que la combinación lineal no es única (una tontería nomás)

2) Un poco más importante, agregar que \( mcd(a,b)=mcd(a-cb,b)\quad\forall c\in\mathbb{Z} \) (y decir que en particular se puede tomar \( c \) igual al cociente de la división entre \( a \) y \( b \), dando lugar al algoritmo más básico (tal vez) para calcular el mcd, y que la información de los pasos sucesivos de este algoritmo sirve además para encontrar una combinación lineal de \( a \) y \( b \) igual a su mcd, de acuerdo con la identidad de Bezout).
"...parecido pero nada que ver"

06 Junio, 2010, 06:56 am
Respuesta #19

argentinator

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2) Un poco más importante, agregar que \( mcd(a,b)=mcd(a-cb,b)\quad\forall c\in\mathbb{Z} \) (y decir que en particular se puede tomar \( c \) igual al cociente de la división entre \( a \) y \( b \), dando lugar al algoritmo más básico (tal vez) para calcular el mcd, y que la información de los pasos sucesivos de este algoritmo sirve además para encontrar una combinación lineal de \( a \) y \( b \) igual a su mcd, de acuerdo con la identidad de Bezout).

Este es el Algoritmo de Euclides (o no?).

Se puede agregar, cómo no.