Autor Tema: Conjetura de Collatz

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28 Marzo, 2006, 05:03 pm
Respuesta #30

rubenrosas

  • Visitante
 Mira Argentinator,cambiábamos con vos el otro día opiniones respecto de tratar de arrimar la ciencia a la juventud,para hacer bandera de mi vida te digo que en el pueblito  en donde ejercía,me pedían a veces que pintara paredes de Jardí de Infantes especialmente,pero por ahí aprovechaba y pintaba paredes de aulas con temas de matemática,ciencias etc Respecto de la cuestión primera ,no creo que por encontrar contradiccinones en una ciencia ésta desaparezca,sino por comparación todas las religiones hubieran desaparecido.Respecto de lo segundo, alguien se refirió(si no entendí mal)que no hay probar(estimo como cosa necesaria) que edn la sucesión numérica que se va dando al aplicar las fórmulas del problema de Collatz( ahí me desarmó por que tenía un cuento q

28 Marzo, 2006, 05:30 pm
Respuesta #31

rubenrosas

  • Visitante
que tenía un cuento (made in casa) que probaba que la sucesión caía en uno.Se decía que lo que hay que probar específicamente que el único "rulo" o ciclo que existe es el " 4,2,1,4,2,1 .. Preguntaba si,(y vale para cualquier/an+1/2) la regla interrumpida:"todas las mitades de potencias de dos son también pares potencias de dos EXCEPTO DOS cuya mitad es uno(impar)"Preguntaba ésto,y argumentaba con ejemplos que incluían casos que no son de matemática,que podrían llevar a situaciones que son contradictorias o indefinidas.Creo que el mensaje que había enviado se cortó por éso a lo mejor no se entendía bien.Por otra parte a lo mejor lo que digo es un delirio.Ustedes dirán.Ya me han refutado varias veces,y éso está bien.Chau

28 Marzo, 2006, 08:25 pm
Respuesta #32

argentinator

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Si hablamos de potencias enteras positivas de 2, la cosa no ofrece mucha duda.
Si x es una potencia entera positiva de 2, entonces, por defincion, existe un entero positivo n tal que
\( x=2^n \).
Si x = 2, entonces necesariamente n = 1 (se puede usar monotonia de la potencia de enteros positivos respecto al relacion < en N para PROBAR que toda otra potencia es mayor).
Y si x es distinto de 2, necesariamente es n distinto de 1, y como es entero positivo, debes ser mayor que 1.
De manera que n - 1 es todavia un entero positivo. Sea
\( y=2^{n-1} \).
Como n-1 es entero positivo, y es tambien una potencia entera positiva de 2.
Tenemos claramente que
\( x=2y \),
lo cual se deduce de la definicion recursiva de potencia de numeros naturales.
Por definicion de division de numeros naturales (cuando el cociente existe, como en este caso), resulta (usando ademas unicidad de la division en N):
\( x/2=y \).
O sea que el numero y es la potencia de 2 de la que habiamos partido, dividida por 2, que es lo que aparentemente preocupa.
Pero el numero y es una potencia entera positiva de 2.
De manera que x/2 es par, y ademas es una potencia entera positiva de 2.

Parece exagerado todo este desarrollo para demostrar algo tan elemental, pero si surgen dudas, nos vamos hasta las primeras definiciones y listo.

La situacion de un ciclo 4,2,1 en la sucesion no es necesariamente contradictoria, es simplemente el comportamiento posible de una sucesion de numeros naturales. Dada una sucesion de numeros, no es necesario que converja a algun numero especifico, porque una sucesion es simplemente una funcion de los numeros naturales.

A mi tambien me parece que ese ciclo se av a presentar si seguimos las reglas de la sucesion, y es mas, si la conjetura es cierta, ese ciclo se av a presetnar siempre. A menos que exijamos una condicion adicional, a saber, que si la sucesion obtiene el valor 1 en una iteracion, entonces se defina el siguiente elemento de la scuesion de nuevo como 1.
Bajo esa regla estariamso estudiando el mismo problema, y ademas tendriamos convergencia. Pero eso es algo forzado, porque esa condicion puesta por fuerza bruta no nos da informacion general de la aritmetica subyacente del problema. Asi que a lo mejor convenga quedarse con los ciclos no mas.

Si en la vida real hay ejemplos de cosas donde no se cumplen las propiedades de las potencias, es que esas cosas no han sido modeladas o no pueden ser modeladas correctamente por medio de numeros.

Es cierto en cambio que las contradicciones no destruyen la ciencia.
Las paradojas de Russell hicieron mas fuerte a la matematica.
Yo solo estaba poniendo una cuota de humor dramatico.

Y aunque dije que Russell no encontro contradicciones en el concepto de infinito, tampoco dije que no las haya. Simplemente nadie las ha encontrado hasta ahora.

29 Marzo, 2006, 12:32 am
Respuesta #33

rubenrosas

  • Visitante
Mira Argentinator,dicen que Newton encontró una fórmula que detrminaba cual era la velocidad del sonido,pero como en ése tiempo experimentalmente se pudo determinar,él a la fórmula le agregó variables para que todo se ajustara a lo que él quería.Ésto está visto en la actualidad como una "chantada".No sé si será asi,Newton era verdaderamente un GRANDE.Russell para justificar la paradoja creó la teoría de Los Tipos.(éso he leído) pareciera que hizo lo mismo que Newton en mi entender,de ésto que no sé mucho.A lo mejor se podría haber definido el conjunto universal como la negación del conjunto vacío.Hay cosas en donde existe la sensación de algo no resuelto.Recuerdo que en el libro de Sadosky y Guber, se demuestra matemáticamente(por la suma de los términos de una progresión geométrica) por qué Aquiles le gana a la tortuga.Pero ésos sofimas de Zenón de Elea rondan la cabeza de mucha gente.La flecha efectivamente no debería salir,otro sofisma de Zenón.Yo pienso,imaginándome Einstein, que la cuerda trasmite un cuanto ,o unos cuantos de energía a la flecha,y la lfecha recorre unos "cuantos de espacio"
 Soy bárbaro ,inventé los "cuantos de espacio"

29 Marzo, 2006, 11:40 pm
Respuesta #34

rubenrosas

  • Visitante
 EL PARAÍSO DE LOS FUTBOLISTAS.  Ahí va el cuento ,espero que alguna vez lo pongan al lado de los sofismas de Zenón
 En un lugar del Tíbet se encuentra una torre tan alta que se pierde detrás de las nubes.Como los monjes budistas se regocijan con los partidos de futbol le dan la oportunidad a éstos que puedan llegar al paraíso.La torre posee en su parte interior una escalera de caracol que sube,sube y sube.Los futbolistas tienen diversas entradas a ésa escalera de caracol,pero antes de acceder a ella se encuentra un monje que le dice al ingresado:mire usted patea la pelota hacia arriba,cuando la pelota descanse en un peldaño vuelve a repetir la operación,pero advierto que la pelota puede rebotar en un peldaño y en ése caso en vez de subir puede bajar.En cualquier caso debe continuar con la operación y  le digo que las probabilidades de subir una cantidad de peladaños es la misma que para bajar en ésa cantidad.Si la pelota llega al piso del primer escalón la oportunidad se pierde.
 Demostrar que ningún futbolista puede llegar al paraíso.
 Tengo una idea alocada de relacionar éste cuento que se me ocurrió con el
problema de Collatz. A lo mejor el cuento vale por sí mismo sin relación con el problema.
 

30 Marzo, 2006, 12:34 am
Respuesta #35

argentinator

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Habría que definir qué significa el evento ''llegar al paraíso''.

Si el paraíso está a infinitos peldaños desde el suelo, sin importar que la pelota suba o baje, al hacerlo en un numero finito de peldaños a la vez, el proceso de caminar todos los peldaños no puede terminarse en un número finito de pasos.

Ahora, si la pregunta es si acaso el futbolista pierde la oportunidad de llegar al paraíso, la respuesta NO ES que siempre la pelota vuelve al piso. En todo caso, ese evento puede tener probabilidad 1, que no es lo mismo.

Llamando \( X_n \) a la variable aleatoria que indica si la pelota en el paso n está en el suelo, o ha caído en algún peldaño cualquiera (sin importar si baja o no). Lo que uno debe preguntarse es cuál es la probabilidad de que al menos una de las \( X_n \) sea igual a ''piso''. Esto es 1 menos la probabilidad de que todas las \( X_n \) valgan ''no está en el piso''. La probabilidad de que una sucesión de variables aleatorias independientes tengan el mismo valor es 0, luego la respuesta es que la probabilidad del evento ''la pelota llega alguna vez al piso'' es 1.

Pero sin embargo, existen eventos perfectamente posibles, aún cuando su probabilidad es 0, porque probabilidad 0 no significa FALSO, ni tampoco probabilidad 1 significa CIERTO. Las implicaciones sólo son válidas al revés: el evento FALSO tiene probabilidad 0, y el evento VERDADERO tiene probabilidad 1.
La pelota podría subir y bajar siempre, sin llegar al piso, y ese evento tiene probabilidad 0, pero eso no significa que el evento no pueda ocurrir.

Mas allá de todo eso, me parece que el problema de Collatz no debe encararse de forma estadística, a menos que uno no pueda abordarlo de otra manera más directa. En principio, el problema es una cuestión de verdadero-falso,o sea, es cierto o no (a menos que algún intuicionista diga lo contrario), y uno debiera buscar una demostración de su verdad o falsedad. Los métodos estadísticos pueden arrojar una pista.
Pero también hay que tener cuidado en cómo uno usa la teoría de probabilidades con los números naturales.

30 Marzo, 2006, 06:00 am
Respuesta #36

rubenrosas

  • Visitante
 Se me ocurre que si el sujeto se encuentra en el peldaño n,luego de un cierto tiempo estarà en el peldaño n+m,hacia arriba o hacia abajo,supongamos que está hacia arriba. Luego de un cierto tiempo estará en m+n+p,hacia arriba o hacia abajo...Si m=n y ha bajado ,ha tocado el piso,entonces la experiencia se terminó.Lo mismo con los otros casos. El futbolista nunca llega al cielo.
 Es una relación que se me ocurre.A lo mejor es un sin sentido.

30 Marzo, 2006, 06:55 pm
Respuesta #37

argentinator

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Lo que pasa es que, si uno describe el evento de la n-ésima posición que ocupa la pelota, y como estas posiciones (los peldaños) son enteros positivos, me parece que estadísticamente eso no se puede modelar de una forma adecuada. Los números naturales no son adecuados para eso. Si uno pregunta, cuál es la probabilidad de que la pelota suba m peldaños, y uno ''asume'' que todos los números m tienen la misma probabilidad, la cosa directamente no funciona, no se puede encontrar una medida de probabilidad así en los naturales.
Y por eso me dediqué a analizar otro tipo de evento: La pelota está en el piso o no lo está.
Y es más, dado que la pelota puede hacer cualquier cosa, puede subir o bajar cualquier número de peldaños con la misma probabilidad, o sea, es un caso de SI-NO, dos eventos contrapuestos. así no más, como está planteada la cosa, no se sabe con qué probabilidad la pelota sube o baja un determinado número de escalones. Si esto se hace con independencia de los eventos anteriores, etc.
Yo simplifiqué el análisis, y supuse una probabilidad cualquiera p positiva y menor que 1 para el evento: ''baja hasta el suelo'', y la probabilidad 1-p para el evento: ''la pelota hace cualquier otra cosa''.

Con probabilidad 1 ocurre el evento ''la pelota llega al suelo'', pero eso no significa que vaya a llegar al suelo, pues aunque el evento ''la pelota no llega jamas al suelo'' tiene probabilidad 0, visto como conjunto, ese evento es no vacío.
Así que, aun así, la posibilidad de que la pelota no llegue jamás al suelo, y siga subiendo y bajando sin cesar, está entre los casos posibles.

La probabilidad es una medida, y no una herramienta de información precisa o certidumbre. Es una herramienta más bien adecuada para estudiar comportamiento ''promedio'' de sucesos, y desviaciones de la media, pero no para predecir el resultado final de un hecho.

En cuanto al hecho de que la pelota nunca llega al paraíso, no es por una limitación probabilística, no se usa probabilidad ahí, porque en realidad hay un condicionamiento estrictamente lógico, y es que la pelota cada vez solo avanza o retrocede un numero finito de peldaños. Si uno programa esto en una máquina finita, al estilo Turing, posiblemente, se encuentra con que el proceso nunca termina.
Más precisamente, si el jugador patea la pelota 1 vez por segundo (digamos), lo que está haciendo es un proceso a través de una escala de tiempo discretizada. Dadas las limitaciones humanas, seguramente hay un tiempo mínimo entre pelotazo y pelotazo. Yo tomo 1 segundo.
Además, el jugador es capaz de hacer avanzar la pelota solo un numero finito de peldaños en cada instante discreto n.
Para que la pelota llegue al paraíso, aun en el mejor de los casos que la pelota siempre avance, se requiere entonces un tiempo infinito.
Como la mentalidad humana se presume finita, esto nos lleva a la conclusión de que el jugador, desde su punto de vista de la realidad finitario, nunca va a ver el proceso terminado, pues él siempre está parado en algún instante discreto n. Y en cada instante n la pelota no está en el paraíso. Eso es el significado de ''nunca''. Porque si el jugador pudiera ver los infinitos instantes de una sola vez, entonces podría extender su campo de visión hasta el paraíso, y una sucesión infinita de instantes.

Pareciera que así el jugador alcanzaría el paraíso con la pelota, siempre suponiendo que la pelota sube en cada paso.
Pero es en este punto de la discusión donde tal vez nos encontramos con el tipo de cosas que a los intuicionistas les molestaba.
Desde el punto de vista de la teoría de Cantor, si la pelota siempre sube al menos 1 peldaño en cada paso discreto, entonces uniendo todos los peldaños cubiertos en cada uno de los instantes discretos n tendríamos algo así:
\( A=\union_{n=1}^\infty I_n \)
donde el intervalo \( I_n=\{i\in\mathbb{N}:p_n\leq i< p_{n+1}\} \).
Cada número natural \( p_n \) representa el peldaño que ocupa la pelota en el instante n.
Tomamos \( p_0=0 \) como el suelo, peldaño inicial.
Entonces es claro que el conjunto A es exactamente igual al conjunto
\( \mathbb{N} \) de los números naturales, y podríamos considerar que esto significa haber llegado al paraíso.

Sin embargo, si nos subimos a la mente del jugador siendo un ser humano común y corriente, con mente finitaria, él no es capaz de ver el proceso en su totalidad, y por lo tanto no es capaz de comprender lo que va a ocurrir si sigue subiendo la pelota indefinidamente.
Esa es la situación de la mente de los intuicionistas, quienes negaban el infinito.

Posiblemente los intuicionistas tenían razón en quejarse, porque he considerado al conjunto de los números naturales \( \mathbb{N} \) como una totalidad, de la cual ya he asumido qué propiedades tiene. No le he permitido tener ramificaciones, o posibles comportamientos alternativos distintos al adjudicado a priori a los números naturales. Entonces no sé si el paraíso es para mi.
Por otro lado, desde un punto de vista computacional, estamos ante un proceso que nunca converge. Pero a las sucesiones convergentes del análisis por lo general les pasa lo mismo: se acercan siempre a un punto limite pero no necesariamente lo tocan alguna vez. Converger y ''alcanzar'' son cosas diferentes.
En cierto modo, el paraíso del jugador de fútbol parece comportarse como un polo atractor, pero al cual el jugador puede converger, acercándose siempre, sin nunca alcanzarlo realmente.

Con esta ultima idea, me parece menos acertada la idea de que el conjunto \( \mathbb{N} \) de los números naturales sea el paraíso. Porque en ese conjunto no hay ningún elemento que se corresponda con el paraíso, solo hay los infinitos peldaños.
De la manera que está enunciado el problema, pareciera ser que el paraíso es un punto que uno quisiera alcanzar. Entonces habría que completar la topología del conjunto de los números naturales con un ''punto en el infinito'', logrando que la sucesión de Cauchy formada por los peldaños en ascensión converja a ese nuevo punto. Eso puede hacerse sin problemas con la teoría topológica básica. Pero aun así, al tener sucesiones que converjan a ese punto, la verdad es que no tocaremos el punto del infinito en ningún paso la sucesión, porque nuestras sucesiones están formadas exclusivamente por peldaño x. En ningún paso está permitido que la pelota esté en el peldaño ''infinito'' (el paraíso).

De manera que me parece que, antes que nada, el hecho de que la pelota nunca llegue al paraíso tiene que ver con las restricciones mismas impuestas por los dioses. Se obliga a que el proceso tome forma de sucesión, se obliga a que el jugador de fútbol permanezca siempre dentro del conjunto que define esa sucesión, sin salirse de él (o sea, siempre está en los peldaños en cada paso n). Así que, la sucesión, aunque converja o no al paraíso (el punto del infinito), es tal que, en los hechos reales, en la experiencia material, no hay contacto real con el punto de convergencia.
Y eso muestra la diferencia entre convergencia a un punto y contacto con ese punto.

Y posiblemente los intuicionistas protesten contra el infinito por tener ideas de esa índole. Para ellos tal vez no sea lo mismo un infinito ''real'' que un infinito ''potencial'', porque uno puede converger a algo infinito, pero no necesariamente llegar a él en forma directa.
Sin embargo hay otras objeciones al infinito de los números naturales, y como diría Rubén, las dejo para el próximo capitulo.

31 Marzo, 2006, 12:26 am
Respuesta #38

rubenrosas

  • Visitante
Argentinatur,te agradezco la respuesta.Vos decías (en otra página)que no me entendías,pero yo tampoco te entiendo a vos.(acordate Moisés baja al pueblo).De cualquier manera voy a leer varias veces lo que vos decís.Aclaro por las dudas,para alguno que no interprete el cuento,que  el resultado de (3n+1):2 , n:2 ,para n impar o para n par está reemplazado por la cantidad de escalones que sube o baja el jugador .Se me ocurre que si el cuento se ajusta al problema de Collatz (aparentemente para vos no) éso valdría para cualquier (jn+1):2 con j= impar.De cualquier manera era una forma de explicar groseramente lo misterioso del comportamiento de los números en elproblema de Collatz.Chau.

31 Marzo, 2006, 01:16 am
Respuesta #39

argentinator

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Lo que pasa es que el problema de lso peldaños del jugador de futbol tiene una naturaleza aleatoria (en cada pasod e la iteracion). Aun cuando se demuestra que el jugador no llega al paraiso (no estadisticamente sino logicamente), la ley de subir y bajar peldaños es aleatoria.

En cambio, la ley de subir y bajar del problema de Collatz no es aleatorira. Vista de afuera, sin previo aviso, puede parecer aleatoria, pero no lo es, hay una regla de formacion, y conocido el peldaño de una iteracion cualqueira, se peude saber con certeza absoluta cual será el siguiente peldaño. La probabilidad ahi no tiene nada que decir.

Sin embargo, los estudios probabilisticos pueden hacerse de todos modos, estudiando el comportamiento de la sucesion a escala global, tal como se hace con los numeros primos. Si uno probara un resultado como este:

* La probabilidad o proporcion de veces que aparecen los numeros 1, 2, 4, entre todos los numeros naturales de la sucesion generada por el algoritmo de Collatz, partiendo de cualquier numnero natural inicial, es un numero positivo,
* La probailidad o proporcion con que EL RESTO de los numeros que aparecen en la suecesion tiene probaildiad 0.

* Entonces posiblemente esto podria servir para deducir que el algoritmo efectivamente converge al ciclo 4, 2, 1.

Esto que afirmo con poco rigor, se basa en la idea de que el conjunto completo de numeros naturales es un evento de probabilidad 1, y que si la sucesion converge al ciclo 4, 2, 1, lo hace, por tratars de una sucesion numeros enteros, en un numero finito de pasos, haciendo que este ciclo aparezca infinitas veces, mientras que el resto de los numeros naturales aparece solo un numero finito de veces. Estoy presuponiendo que un conjunto finito tendrá probabilidad 0.
Pero en este contexto, debe definirse previamente una BUENA medidad de probailidad, porque asi no mas no se puede. Ninguna medida que asigne una distribucion uniforme de probailidad positiva a los numeros naturales en forma individual, ninguna de ellas puede ser una medida de probailidad.

PEro la verdad es que, hasta que no me ponga a definir con rigor una medida de probabilidad inherente al caso, no sé en realidad de lo que estoy hablando. Los parrafos anteriores son una mera especulacion de un escenario teorico que no he definido, y estoy seguro que lo que dije no funciona bien tal como lo he balbuceado.
Solamente he intentado poner en evidencia las ideas de fondo del asunto.