Tu error no está en decir que el límite es 4, sino que la sucesión 3x+1 tiene limite 4, porque 3x+1 no es una sucesión, es una función.
Una sucesión es una función de los números naturales. Más específicamente, z es una sucesión, si es una función \( z:\mathbb{N}\rightarrow{A} \), donde A es un conjunto no vacío.
La sucesión z en el valor n, tiene el valor z(n), y este valor se denota
\( z_n=z(n) \)
y la sucesion completa se puede abreviar así:
\( \{z_n\}_{n\in \mathbb{N}} \).
Por definición de límite de sucesiones, la sucesión z tiende al límite L, si ocurre que:
\( \lim_{n\rightarrow{\infty}}z_n=L \).
Pero vos estás diciendo que tu SUCESIÓN es 3x+1 (como función de x, supongo). En tal caso, usando la x en vez de la n, tenemos que la sucesión que estás tomando es:
z(x) = 3x+1, o bien:
\( \{z_n\}_{n\in \mathbb{N}}=\{3n+1\}_{n\in\mathbb{N}} \).
Pero esa sucesión es estrictamente creciente, lo cual es fácil de probar, y entonces, cuando n tiende a infinito, 3n+1 crece. Más aun, se puede probar que tiende a infinito, pero eso no hace falta. La cuestión es que, por ser creciente, y mayor que 1, jamás va a tender a 1, cuando n tiende a infinito.
Estás usando MAL la definición de SUCESION, no la definición de LIMITE.
Además, la definición de límite de tu libro de geometría analítica utiliza números reales, y NO números naturales. Y tu función f(x) = 3x+1 tiene su dominio y su rango en los números naturales, en el contexto del problema que estas analizando, pues en el algoritmo de Syracusse, todo elemento de la sucesión es un numero entero positivo, así que, si x es distinto de 1, x nunca va a tender a 1, y f(x) no va a tender a 4. Para que eso pase, sí o sí hay que tomar el valor x = 1, no hay otra opción
En ese caso, tenés que usar la noción de limite relativizado a un subconjunto de los números reales, en este caso, el conjunto \( \mathbb{N} \) de los números naturales, con la topología relativizada, tal como se hace en Análisis Matemático, Rudin.
Pero al hacer eso, se puede probar que si una sucesión \( z_n \) tiende a un limite L finito, entonces existe un índice N a partir del cual \( z_n=L \). O sea que no tenés ninguna información de cómo la sucesión evoluciona hasta llegar al límite, porque lo hace a partir de un salto.
En general, para probar que el límite de una sucesión de números naturales tiene a un límite L, seguro vas a tener que usar un procedimiento ajeno al proceso de límites, porque los límites no explican ni dicen nada de la estructura del conjunto de números naturales.
Una sucesión de números naturales que tiende a un limite L, o bien tiene una ''cola'' de elementos iguales al limite L, o bien tiende a infinito. Se puede probar que no hay mas casos que esos dos.
¿De qué manera podés usar ese hecho para probar que la sucesión generada con el algoritmo de Syracusse converge a 1?
No es que la nocion de limite no pueda usarse, pero vos estás usando teoría de números reales en el contexto de números NATURALES. Ese es tu ERROR. Porque si bien la funcion f(x)=3x+1 tiende a 4 cuando x tiende a 1, eso tiene un significado dentro de la teoría de números reales, pero no dice nada dentro de la teoría de números naturales.
Si tenés una sucesión de números REALES que converge a x, entonces f(x) tiende a 4.
De hecho, el limite es cierto en naturales tambien, pero entonces eso significa que los puntos que estas tomando son todos iguales a 1 a partir de algún índice N de la sucesión en adelante.
O sea que, en alguna parte, tenés que probar que la sucesión llega a valer 1 para algún índice.
Tu DEMOSTRACION no es refutable porque no se entiende lo que hiciste, y porque no has explicado con exactitud cómo estás generando la sucesion que tiende a 1, ni de qué manera usás la función f(x) = 3x+1 para obtener los elementos de ella.
Si precisaras mejor la notación, entonces se podria hacer una critica concreta.
Además, me estas exigiendo a mí que use símbolos matemáticos y notación correcta para criticarte y refutarte, y estás escribiendo cosas que matemáticamente no tiene ningun sentido. Cuando escribas en forma correcta los pasos de tu demostracion, vas a recibir de mi parte las criticas pertinentes. Aun así, en la ensalada de simbolos sin significado que escribiste, me tomé el trabajo de buscar el error que hay en el manejo de tus conceptos. Y encima me salís con esa ironía de ser mi alumno.
Además, no tenés que decirme que una coma se usa para separar elementos de una lista, lo que no entiendo es por qué metés una lista en donde sólo debiera haber un único elemento por cada iteración.
De lo contrario vas a tener que redefinir el problema en términos de listas, explicar o definir lo que significa el límite de una lista cuando n tiende a infinito.
Para decir que una sucesión (que se puede pensar como una lista de infinitos términos, si querés) tiende a un límite L, no hace falta tener en consideración permanentemente los términos iniciales de la lista. Más aún, la nocion de LÍMITE depende exclusivamente de los elementos AL FINAL de la lista, o sea, esos infinitos elementos que aun no has generado en el paso N.
PAra decir que una sucesion \( z_n \) tiende a un limite L, tenés que probar que para todo valor E>0, existe un indice N tal que para todo n>N vale que \( |z_n-L|<E \).
Así que, si me vas a escribir una LISTA para calcualr el límite, más vale que escribas los infinitos \( z_n \) con n>N. Los elementos iniciales no sirven de nada.
La notación de sucesiones como LISTAS es sólo una ABREVIATURA, para hacer más intuitiva la descripción de la SUCESIÓN. Pero ya que estás exigiendo rigor matematico, no podés usar la LISTA para hacer una demostración.
La demostracion de límite de una sucesión debe usar la DEFINICIÓN de SUCESIÓN, como puse arriba, y la noción de LÍMITE de una SUCESIÓN como sigue abajo.
Porque lo que vos hiciste es EXTRAPOLAR la teoría del libro de Geometría Analítica al presente contexto, por una mera sustitucion de símbolos. Eso no es correcto.
PAra usar límites en funciones de números naturales, tenés que usar el concepto de límite relativizado, o topologia relativizada, tal como se expone en Analisis Matematico, Rudin.
Al hacerlo te encontrás con el comportamiento poco informativo que te expliqué arriba.
