Autor Tema: Conjetura de Collatz

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04 Marzo, 2006, 06:43 am
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dcorradini

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Algoritmo de Collatz/Syracuse _ Demostración 05/02/06

Como en el final uso limites, puede ser que no se vea bien, les pido que miren con atención y veran la formula bien expresada.-

Terminología:

Impar: x Par: y

Nº: Números naturales positivos

Impar: 2n-1 Par: 2n

A) Primero quiero demostrar que la ecuación 3x+1 da como resultado siempre un Nº par.

• 3 x + 1 = y = 2n • 3(2n-1)+1 • 6n – 2

2 (3n-1) (tiene la forma 2 n, por lo tanto es par para cualquier Nº Natural positivo) B) Segundo quiero demostrar que la ecuación 3x+1 es una sucesión convergente al Nº 4, tenemos como surge en A lo siguiente:

2 (3n - 1) =

2 [3n1-1, 3 n2-1, 3 n3-1,…….3nn -1]

   Lim 2     ((3n1-1), (3 n2-1), (3 n3-1),…….(3nn -1)] = 4
N (n1…nn)==> 1





C) Tercero, demuestro que un Nº par que se divide por 2 es una sucesión convergente al Nº 1.

Y = 2n, por las reglas impuestas, tenemos que a todo N° par se lo debe dividir por 2

Y= 2n/2 = [2 (N1, N2, N3……Nn) / 2] = (2/2) (N1/2, N2/2, N3/2, ……Nn/2)







   Lim.       (2/2) (N1/2, N2/2, N3/2, ……Nn/2) = 1
N (n1 …nn) ==> 2





Complementando a esto, tenemos el siguiente teorema, que se desprende de las propiedad de los números naturales=

[ (2n1/2) < (2n2/2) < (2n3/2) < ……..< (2nn/2) ]

Por lo tanto tenemos que la sucesión de cualquier N° Natural positivo, donde se aplique las dos reglas del algoritmo de Syracuse/Collatz, siempre que sea un N° positivo so obtendra un N° par y todo N° par se dividira por 2, llegando siempre al N° 1 (después de sucesivas factorizaciones del N° par), a partir de este momento se repite el ciclo por la ecuación 3x+1.

Diego Corradini Buenos Aires Argentina

04 Marzo, 2006, 11:20 am
Respuesta #1

teeteto

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04 Marzo, 2006, 11:29 pm
Respuesta #2

mario

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No entiendo.
Por ejemplo, ¿qué querés decir con
• 3 x + 1 = y = 2n • 3(2n-1)+1 • 6n – 2
?

05 Marzo, 2006, 04:04 am
Respuesta #3

dcorradini

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Perdon pero mande una demostración sin explicar que quiero demostrar, para esto voy a adjuntar un problema que lo saque del libro de Paenza "Matematicas estas ahí", y se llama Conjetura de Collatz, dice así:

"
>Vamos a construir juntos una sucesión de números naturales (enteros
>positivos). La regla es la siguiente: empezamos por uno cualquiera.
>Digamos, a manera de ejemplo, que elegimos el número 7. Ese va a ser el
>primer elemento de nuestra sucesión.
>
>Para generar el segundo elemento, hacemos lo siguiente: si el que elegimos
>primero es par, lo dividimos por dos. En cambio, si es impar, lo
>multiplicamos por 3 y le sumamos 1.
>
>En nuestro ejemplo, al haber elegido el 7, como no es par, tenemos que
>multiplicarlo por 3 y sumarle 1. Es decir, se obtiene el número 22, ya que
>3 x 7 = 21 y sumando uno, queda 22.
>
>Ahora bien: tenemos entonces los primeros dos elementos de nuestra
>sucesión: {7,22}.
>
>Para generar el tercer número de la sucesión, como el 22 es un número par,
>lo dividimos por dos, y obtenemos 11. Ahora tenemos {7,22,11}.
>
>Como 11 es impar, la regla dice "multiplíquelo por 3 y súmele 1". O sea,
>34. Se tiene {7,22,11,34}.
>
>Luego, como 34 es par, el próximo elemento de la sucesión es 17. Y el
>siguiente es 52. Luego 26. Y después 13. Y sigue 40. Luego 20. Hasta acá
>tenemos {7,22,11,34,17,52,26,13,40,20}.
>
>Seguimos dividiendo por dos los pares y multiplicando por 3 y sumando 1 a
>los impares: {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2,
>1}.
>
>Y en el número 1, paramos.
>
>Lo invito ahora a que elijamos cualquier otro número para empezar, digamos
>el 24. La sucesión que se tiene es: {24, 12, 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}.
>
>Si ahora empezamos con el 100, se sigue: {100, 50, 25, 76, 38, 19, 58, 29,
>88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}.
>
>Como se alcanza a ver, todas las sucesiones que elegí terminan en el número
>1. En realidad, aunque no lo dije antes, al llegar al número 1 el proceso
>se detiene, porque si uno siguiera, entraría en un lazo, ya que del 1
>pasaría al 4, del 4 al 2 y del 2 otra vez al 1. Por eso es que cuando al
>construir la sucesión llegamos al número uno, detenemos el proceso.
>
>Bien. Hasta hoy, enero del 2006, en todos los ejemplos conocidos siempre se
>termina la sucesión en el número 1. Pero, no se tiene ninguna demostración
>que pruebe que el resultado es válido para cualquier número. Este problema
>se conoce con el nombre del "Problema 3x + 1", o también como el "Problema
>de Collatz", o "Problema de Syracuse", o "Problema de Kakutani" o
>"Algoritmo de Hasse" o "Problema de Ulam".
>
>Como ven, tiene muchos nombres, pero ninguna solución. Es una buena
>oportunidad para empezar. Con todo, así como escribí el otro día respecto
>de la Conjetura de Goldbach, es poco probable que a un "lego" se le ocurra
>cómo resolver el problema general. Pero, en la historia de la humanidad hay
>múltiples ejemplos de personas que tuvieron el ingenio suficiente para
>superar dificultades para la que se suponía que no estaban preparadas. Y lo
>hicieron, casi sin historia en el área ni herramientas sofisticadas."


Ahora bien, lo que demuestro con 3x+1 es que siempre que x sea impar, el resultado es un número par, es decir:

3x+1, al ser x impar (para N° enteros positivos) se puede escribir de la siguiente manera: 2x-1, por lo tanto a reemplazar x tenemos lo siguiente:

3x+1 = 3 (2x-1) +1 = "2 (3n-1)", por lo tanto siempre va a dar un N° par.-

Espero con esto dar un poco mas de claridad.-

Saludos

Diego


05 Marzo, 2006, 12:48 pm
Respuesta #4

teeteto

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¿Y qué interés tiene que 3x+1 sea par?
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

05 Marzo, 2006, 03:21 pm
Respuesta #5

dcorradini

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Bien aca viene la ayuda de ustedes, la demostración la baso en el siguiente razonamiento:

La conjetura traza una sucesión de números naturales que converge a 1 (bueno es lo que quiero demostrar), al aplicar las dos reglas (3x+1) y (x/2), ahora bien al aplicar limites demuestro lo siguiente:

a) el límite de 3x+1 cuando x tiende a 1 es 4, (la demostración la hago para cualquier N°>0 (esta escrito de la forma N1 hasta Nn)

b) el límite de x/2 cuando x tienda a 2 da 1

c) al dar como resultado 3x+1 siempre un N° par, ingresa al limite de x/2, por lo tanto si bien el limite de 3x+1 da 4, sabemos que por ser par, tendremos que aplicar x/2, que el limite da 1...

Espero explicarme bien, desde ya se daran cuenta que soy un lego en la materia, pero me gusta.

Quedo muy agradecido en compartir estas líneas con ustedes y la idea es discutir si mi razonamiento es correcto?

Saludos

Diego

09 Marzo, 2006, 06:32 pm
Respuesta #6

argentinator

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 Diego, tengo la sensación de que el mundo y yo no te comprendemos.
 Pareciera que estás tomando limites sobre una lista de números. ¿Qué son esas cosas separadas por comas?
 Sospecho que el uso de límites, aplicado directamente a la iteración que debiera ''converger'' a 1, no creo que  bien, mas allá de que no entiendo lo que estas haciendo. Porque el caso es que, si dices que una sucesión de números naturales tiende a un limite finito L, digamos, L = 1, entonces, a partir de cierto índice n, todos los elementos de la sucesión deben repetirse. Eso es porque la operación de limite, en el contexto de números naturales, no arroja demasiada información sobre un problema, debido a que el limite es una noción de ''acercamiento'', y los números naturales siempre están ''distanciados''. No se puede hablar de ''acercamiento'' al numero 1.

  Para usar el concepto de limite, seria más bien idóneo realizar, por ejemplo, un cociente con otra sucesión de números naturales, cuyo comportamiento sea conocido. Si pruebas que el limite del cociente tiende a un numero finito, es que ambas sucesiones son comparables, y podrás extraer alguna información de allí.

  Además, dividiendo sucesivamente por 2, no es  que vas a llegar a 1. Si divides sucesivamente por 2, en algún momento te encuentras con un numero impar, que no es siempre 1, y en ese caso tienes que hacer la operación 3x+1, lo cual te lleva a que la sucesión de un salto hacia arriba, creciendo de nuevo. Por ser par este nuevo elemento, se procede a dividir por 2 de nuevo hasta encontrar otra vez otro numero impar, etc.
   Este procedimiento no asegura que alguna vez te encuentres con el numero 1. Los limites no parecen ser cosa aplicable.

   Aunque no entiendo tu lenguaje matemático, creo que tus ideas te han engañado, al mostrarte las propiedades de las función 3x+1 en tanto operación sobre los números reales, y no sobre los números naturales.
   En las ''cercanías'' de x = 1, la función 3x+1 está ''cerca'' de 4, y cuando x = 1, es 3x+1 = 4. En cuanto a la operación x/2, pareciera que confundes la idea de numero múltiplo 2 con potencia de 2. Para que un número par satisfaga que al dividirlo sucesivamente por 2 llegue a 1, tiene que comenzar siendo una potencia de 2, y no solo un múltiplo.

  Esta conjetura ha aparecido más de una vez en el rinconmatematico.
  La verdad, no sé resolverla, pero pienso que el camino para llegar a la solución puede venir meditando en la siguiente idea:

   * Al aplicar la operación x/2 sucesivamente a números pares, necesariamente se obtienen sucesivos números naturales en orden decreciente, hasta alcanzar un numero impar. De manera que esa operación podría llegar a desestimarse, y podríamos quedarnos solo con la operación 3x+1, seguida de la extracción de su parte PAR, o sea, quitarle todos los factores iguales a 2 en su descomposición en factores primos.
   * El procedimiento anterior generará una sucesión números impares, que NO es decreciente. Su comportamiento a primera vista parece algo imprevisible. Sin embargo, si uno observa, hay ''algo'' en ella que va decreciendo. Se trata de la ''complejidad impar'' de la sucesión. Por ejemplo, el numero 13 es, claramente impar, pero puede escribirse como
\( 13=(2^2.3)+1 \)
    Allí se ve cómo hago aparecer una potencia de 2 en el numero 13. El exponente a que aparece elevado, es ''algo'' que va decreciendo. Es cuestión de estudiar algunos ejemplos para darse cuenta lo que ocurre. Sin embargo, no es tan sencillo encontrar con precisión ese ''algo'' que decrece. Hay que mirarlo mejor.
   * Porúltimo, la idea es que, si a cada elemento de la sucesión generada le asignamos un número que mida ''algo'', como por ejemplo la ''complejidad impar'', y llegamos a probar que ese ''algo'' es un número entero positivo que va decreciendo estrictamente, seguramente llegaremos a la conclusión de que en un numero finito de pasos, el ''algo'' llegará a valer 1 ó 0. No hay otra opción en el mundo de los números naturales. Y entonces, si probamos que, cuando el ''algo'' vale 0, necesariamente la sucesión original que estamos estudiando tiene que valer 1, habremos probado la conjetura.

  Ojalá que esto le sirva a alguno de ustedes para vislumbrar la solución.


13 Marzo, 2006, 02:18 am
Respuesta #7

dcorradini

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Ok voy a intentar (seria más fácil en un papel) hacer entender “mi matemática”:

Las comas, es una forma de nomenclar que son números diferentes y que no hay ninguna acción de sumandos, múltiplos, etc., como ejemplo te puedo citar el libro que figura en esta Web, “Calculo diferencial e integral, de Ricardo Noriega” (Ej. Capitulo 3.1, específicamente paginas 89, 90, etc.) ó también puedo citar el libro “Calculo con Geometría Analítica, de Dennos G. Zill” (Ej. Capitulo 11, páginas 536 en adelante), es decir como hablamos de sucesiones y no de series, ¿Cómo debemos hacer si queremos denotar una sucesión de números que no tienen una relación aritmética entre ellos?, bueno por lo que aprendí hace mas de 12 años en la UNLP (por cierto incompleto) es mediante comas, No creo que haya cambiado a lo largo de estos años…

Ahora bien, a lo importante, comparto la definición que das en el segundo párrafo donde decís que los “números naturales están siempre distanciados.” Pero no comparto que no pueda usar limites en las sucesiones de números naturales, porque yo estoy aplicando limites a dos funciones por separado, es decir aplico Limite a 3x+1 y aplico limite a x/2 (de nuevo te puedo citar al libro  “Calculo con Geometría Analítica, de Dennos G. Zill”, capitulo 11, titulado sucesiones y series). De estas dos funciones surge claramente que son sucesiones convergentes, de ser divergentes tendrían que tender a infinito y matemáticamente hablando eso no sucede. En este punto en especial te pido si vos consideras que no se puede usar limites, me demuestres con matemáticas que no es posible, es decir si haces una demostración con matemáticas (no con palabras) que a estas dos funciones no se puede aplicar limites y que no son convergentes… si lo aceptas me convierto en tu alumno (como se que me falta mucho, siempre se puede seguir aprendiendo…, el tema es que alguna vez me enseñaron que hay que dudar de las palabras pero no de las cuentas, en este caso lo llamaría demostración).

Ahora la verdad que voy a tener que aprender a utilizar como hacer las formulas en la Web, porque a primera vista no se entiende nada, hasta que explico que hice…vamos a explicar paso por paso:

Cuando escribo lo siguiente: “2 (3n - 1) ==> 2 [3n1-1, 3 n2-1, 3 n3-1,…….3nn -1]” estoy generalizando que 3x+1 siempre da un número par (lo primero que demuestro) por lo tanto se puede escribir de la forma 2 (n), en este caso queda escrito (n) como (3n-1), y acto seguido lo único que hago es generalizar para cualquier número natural, que se escribe de la forma 3n1, 3n2, 3n3…..3nn, y acá para aclarar definitivamente:

n1: número cualquiera mayor que 0
n2: número cualquiera mayor que 0, pero menor que n1
n3: número cualquiera mayor que 0, pero menor que n2
……
nn: número cualquiera mayor que 0, pero menor que nn-1

Para ser mas grafico, es decir si n1:5, entonces=

n1=5
n2=4
n3=3
n4=2
nn=1

Es simplemente nomenclatura cuando uno quiere expresar que habla de varios números siguiendo cierta regla, sirve para generalizar para no tener que escribir infinitos números…

Bien como ves sigo sosteniendo lo que dije desde el principio, pero no por obstinación, sino porque no veo que claramente se tire abajo la demostración.

Para cerrar, subí esta demostración con el afán de exponerla y ver quien la puede “destruir”, desde ya creo que es mejorable, principalmente el cierre de la misma, que a mi no me termina de convencer, si bien cualquier número par factorizado sucesivamente terminara en 1, me queda un sabor amargo en la boca como que algo me falta…(coincido con el tema “tiene que comenzar siendo una potencia de 2, y no solo un múltiplo”, pero acá tene en cuenta que al ser x/2; x no puede ser menor a 2, porque sino salimos del universo donde queremos demostrar esta conjetura…


Saludos cordiales,

Diego



 

13 Marzo, 2006, 05:38 pm
Respuesta #8

marcebzy

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conjetura de siracusa:
dado n natural distinto de 1 y dada f(n):  f(n)=n/2      si n es par
                                                        f(n)=3n+1    si n es impar
la conjetura de siracusa dice que existe m natural tal que f(....f(n) ... ) = 1, es decir, aplicando f m veces se llega al numero 1.


me parece que lo que diego quiere decir es lo siguiente:
"si logro demostrar que en la secuencia S: f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ... no hay ningun ciclo (por ejemplo un ciclo trivial es 4,2,1,4,2,1,4...) y que la secuencia S esta acotada entonces forzosamente converge a 1"

diego corregime si me equivoco.

por mi parte estoy tratando de proveerle otra interpretacion al problema. quiero ver si puedo construir cualquier numero natural dado con las operaciones inversas de f, es decir, analizo la inversa de f.

13 Marzo, 2006, 06:03 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

 Marcebzy, prueba en este enlace donde hay una idea parecida a la que dices:

http://matematicainsolita.8m.com/CENTRO%20DE%20DESCARGA.html

 Por otra parte dos enlaces interesantes sobre el tema:

 - Alguien que afirma que es imposible probar el resultado (ojo, no que sea falso).

http://arxiv.org/abs/math.GM/0312309

 - Y una página muy completa sobre el tema:

http://www-personal.ksu.edu/~kconrow/

 En general el problema de este tipo de pruebas poco rigurosas sobre conjeturas tan conocidas es que, aun aportando buenas ideas e incluso siendo ciertas cada una de las afirmaciones que se hacen, a veces el probarlas rigurosamente es más difícil que la conjetura inicial.

Saludos.