Autor Tema: Paralelizable implica campos globales.

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11 Octubre, 2021, 12:24 am
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zimbawe

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Hola. Quisiera saber si alguien conoce la prueba de este resultado o dónde puedo encontrar la prueba, dado que la necesito para probar que todo grupo de Lie es paralelizable.
Consideremos el fibrado tangente \(  \pi: TM\rightarrow{M}  \) La variedad \(  M  \) se dice paralelizable si existe un difeomorfismo \(  F: TM \rightarrow{M \times \mathbb{R}^{n}}  \) tal que \(  \pi(F(v,p)=p  \) y tal que cada aplicación \(  F_{|_{p}}: T_{p}M \rightarrow{\left\{{p}\right\}\times \mathbb{R}^{n}}  \) es un isomorfismo lineal.
Pruebe que, una variedad es paralelizable si y solo si, existe una base global de campos \(  X_{1}, ..., X_{n} \in X(M)  \) tales que para todo \(  p  \), \( \left\{{X_{1}|_{p}, ..., X_{n}|_{p}}\right\}  \) es una base de \(  T_{p}M  \) quedo agradecido. Mil gracias.

11 Octubre, 2021, 07:23 am
Respuesta #1

geómetracat

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Es un resultado muy conocido, estará en cualquier libro de topología diferencial.

De todas formas, no es un resultado difícil de ver. Si \[ M \] es paralelizable, toma \[ X_i|_p=F^{-1}(p, e_i) \] (donde \[ e_i=(0,\dots,0,1,0\dots,0) \] es el vector \[ i \]-ésimo de la base canónica de \[ \Bbb R^n \]). Usando que \[ F \] es difeomorfismo se comprueba que los \[ X_i \] son campos vectoriales que forman una base del tangente en cada punto.
Al revés: si tienes \[ X_1,\dots,X_n \] formando una base en cada punto, puedes definir un difeomorfismo \[ F:TM \to M \times \Bbb R^n \] como \[ F(Y_p)=(p
, (a_1,\dots, a_n)) \] donde \[ Y_p=\sum_{i=1}^n a_i X_i|_p \]. El hecho de que los \[ X_i|_p \] sean base te asegura que los \[ a_i \] existen y son únicos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Octubre, 2021, 12:30 pm
Respuesta #2

zimbawe

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Mil gracias geómetrecat. Eres un capo. Pero, ¿podrías recomendarme algún libro de topología diferencial? Que pena molestar tanto.

11 Octubre, 2021, 12:48 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Uno muy completo, didáctico y muy detallado es el "Introduction to smooth manifolds" (2ª edición) de John M. Lee. Para alguien que esté estudiando la teoría básica de variedades diferenciables le recomendaría ese, sin duda.

Y no te preocupes por preguntar, que para eso está el foro. Pregunta lo que quieras.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)