Autor Tema: Carta de Frobenius de una distribución.

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10 Octubre, 2021, 04:14 pm
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zimbawe

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Hola. No sé si lo que hice está bien en este ejercicio, pero agradecería cualquier sugerencia.
Me piden:
Sea \(  M=\left\{{(x,y,z) \ in \mathbb{R}^{3}|x,y,z >0}\right\}  \) y considere la distribución definidia por \(  D=<y\partial{z}-z\partial{y}, z\partial{x}-x\partial{z}>  \) encuentre una carta de Frobenius global de D.
LLegué a que las funciones \(  f,g  \) deben satisfacer el sistema de ecuaciones \(  \left\{\begin{matrix}
 y=zg\\ -x=-zf
 \\ yf-xg=0
\end{matrix}\right.  \) con lo que:\(  f=x/z  \) y \(  g=y/z  \) pero de aquí ya no sé cómo seguir. Agradecería cualquier ayuda.

11 Octubre, 2021, 12:54 pm
Respuesta #1

zimbawe

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Mi problema es calcular los campos y mostrar que conmutan realmente.

11 Octubre, 2021, 01:13 pm
Respuesta #2

geómetracat

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¿Puedes poner un poco más de contexto? ¿A qué llamas carta de Frobenius, a una en la que la distribución es \[ D = \langle \partial_x, \partial_y \rangle \]? ¿Quién son las funciones \[ f,g \] y cómo llegas a ese sistema?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Octubre, 2021, 01:22 pm
Respuesta #3

zimbawe

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Una carta de Frobenius, es lo que se conoce como "Global Flat Chart" lo que hice fué probar que la distribución es involutiva.
Mejor dicho, esas cartas son las que surgen en el contexto del Teorema de Frobenius.

11 Octubre, 2021, 02:14 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Vale, lo que demuestras es que la distribución es involutiva y por tanto existe una carta de Frobenius. Pero otro tema muy distinto es encontrarla explícitamente. No conozco un procedimiento que funcione siempre (más allá de replicar la demostración del teorema de Frobenius, que puede ser complicado). Pero en este caso en concreto, hay una solución ad hoc.
La observación clave es fijarse en que las curvas integrales de los vectores \[ y \partial z - z \partial y \] son circunferencias centradas en el origen en el plano \[ y-z \] (y similarmente para \[ z\partial_x - x \partial_z \] son circunferencias centradas en el origen en el plano \[ x-z \]). De aquí puedes observar que las hojas de la foliación inducida por la distribución \[ D \] son esferas centradas en el origen (en realidad octantes pues solo consideramos puntos con \[ x,y,z>0 \]).
Esto da una idea clara de cómo encontrar una carta de Frobenius: considerar coordenadas esféricas. Puedes comprobar que efectivamente si usas coordenadas esféricas \[ (r, \phi, \theta) \] se tiene que \[ D=\langle \partial_\phi, \partial_\theta \rangle \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

11 Octubre, 2021, 02:41 pm
Respuesta #5

zimbawe

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Mil gracias geometracat. Ya pude.  :D