Autor Tema: Pushforward de un campo vectorial.

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10 Octubre, 2021, 04:02 pm
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zimbawe

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Hola, tengo el siguiente problema, me gustaría saber solamente si mi resolución es correcta.
Sea \(  M=\left\{{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x>0, y>0}\right\}  \) y consideremos \(  F: M\rightarrow{M}  \) dada por \(  F(x,y)=(x+y, y/x)  \) me piden probar que F es un difeomorfismo y calcular el pushforward \(  F_{*}(X)  \) donde \( X=y^{2}\frac{d}{dx}-x\frac{d}{dy} \) ya probé que F es un difeomorfismo pues calcule la inversa y es derivable en su dominio de definición. Calculé el jacobiano y me dió \(  J=\begin{pmatrix}
1 & -y/x^{2} \\
1 & 1/x \\
\end{pmatrix}  \) y a \( X  \) le podemos asociar el vector \(  \begin{pmatrix}
y^{2} \\ x
\end{pmatrix}  \) Multiplico el jacobiano con dicho vector y obtengo \(  F_{*}(X)=(y^{2}-y/x)\frac{{\partial}}{{\partial x}}+y^{2}\frac{{\partial}}{{\partial y}}  \)
Me podría indicar si me quedó bien, por fa.

10 Octubre, 2021, 04:48 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, tengo el siguiente problema, me gustaría saber solamente si mi resolución es correcta.
Sea \(  M=\left\{{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}|x>0, y>0}\right\}  \) y consideremos \(  F: M\rightarrow{M}  \) dada por \(  F(x,y)=(x+y, y/x)  \) me piden probar que F es un difeomorfismo y calcular el pushforward \(  F_{*}(X)  \) donde \( X=y^{2}\frac{d}{dx}-x\frac{d}{dy} \) ya probé que F es un difeomorfismo pues calcule la inversa y es derivable en su dominio de definición. Calculé el jacobiano y me dió \(  J=\begin{pmatrix}
1 & -y/x^{2} \\
1 & 1/x \\
\end{pmatrix}  \) y a \( X  \) le podemos asociar el vector \(  \begin{pmatrix}
y^{2} \\ x
\end{pmatrix}  \) Multiplico el jacobiano con dicho vector y obtengo \(  F_{*}(X)=(y^{2}-y/x)\frac{{\partial}}{{\partial x}}+y^{2}\frac{{\partial}}{{\partial y}}  \)
Me podría indicar si me quedó bien, por fa.

De la definición de push-forward tenemos que \( (F_*X)f=X(f\circ F) \), y utilizando las coordenadas cartesianas en tu caso tienes que \( F_*X=a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y} \), por tanto

\( \displaystyle{
a=(F_*X)x=X(x+y)=y^2-x,\quad b=(F_*X)y=X\frac{y}{x}=-\frac{y^3}{x^2}-1\\
\therefore\quad F_*X=(y^2-x)\frac{\partial}{\partial x}-\left(\frac{y^3}{x^2}+1\right)\frac{\partial}{\partial y}
} \)

10 Octubre, 2021, 05:26 pm
Respuesta #2

zimbawe

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Gracias Masacroso. Lo que hace la función \(  x  \) es proyectar la primera coordenada ¿Cierto?

10 Octubre, 2021, 05:39 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Gracias Masacroso. Lo que hace la función \(  x  \) es proyectar la primera coordenada ¿Cierto?
Exactamente. El sistema de coordenadas es \( (x,y) \), ahí \( x \) representa la primera coordenada e \( y \) la segunda, por tanto \( x\circ F \) es la coordenada \( x \) de la imagen de \( F \), que en este caso es \( x+y \).

10 Octubre, 2021, 05:52 pm
Respuesta #4

zimbawe

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Gracias Masacroso. Todo súper claro.