Autor Tema: Vector normal curvas

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09 Octubre, 2021, 09:02 am
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Ricardo Boza

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Buenos días.



No entiendo el 'claramente ortogonal' en lo subrayado. Ahora no estamos en plano, no veo la justificación de por qué está permitida la extrapolación de este concepto al espacio. En el plano se definía el vector normal de esta manera: si teníamos una curva regular parametrizada naturalmente, y el vector tangente unitario \[ \mathbf{t}(s) = (\cos\theta(s), \sen\theta(s))\], entonces \[ \mathbf{n}(s) = ( -\sen\theta(s), \cos\theta(s) ) \], por lo que sí, \[ \mathbf{ \dot t } = \mathbf{ \ddot \alpha} = \dot \theta \mathbf{ n }= \kappa\, \mathbf{n}\]. En curvas alabeadas ese argumento no vale.

Gracias.

Saludos.

09 Octubre, 2021, 12:59 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No me acaba de quedar claro cuál es tu duda: si es que no ves que \[ {\bf n} \] tal como te lo definen ahí es ortogonal a \[ {\bf t} \], o si es por qué llamamos a este en concreto normal (o normal principal) si en el espacio tenemos infinitos vectores ortogonales a \[ {\bf t} \] (es decir, qué tiene de especial este normal que no tengan los otros vectores ortogonales).

Sobre lo primero: si \[ \alpha \] está parametrizada por la longitud de curva \[ s \] tenemos que \[ {\bf t}(s) = \alpha'(s) \], y \[ \alpha'(s) \cdot \alpha'(s) = 1 \] para todo \[ s \]. Derivando: \[ 2\alpha''(s) \cdot \alpha'(s)=0 \], luego \[ \alpha''(s) \] es ortogonal a \[ \alpha'(s)={\bf t}(s) \]. Y por definición, \[ k(s) = |\alpha''(s)| \], de manera que \[ {\bf n}(s) = \frac{\alpha''(s)}{k(s)} \] es unitario y ortogonal a \[ {\bf t}(s) \].

Sobre lo segundo, se toma este como el normal porque es el único vector unitario y ortogonal a \[ {\bf t} \] (salvo signo) que está en el plano osculatriz de la curva. El plano osculatriz de la curva en \[ \alpha(s) \] es el plano que mejor aproxima a la curva en ese punto, en el siguiente sentido: si consideras \[ t, t' \] cercanos a \[ s \], y consideras los planos que contienen los puntos \[ \alpha(s), \alpha(t), \alpha(t') \] (suponiendo que no estén alineados, que siempre se puede hacer a no ser que \[ \alpha \] sea un segmento de recta en un entorno de \[ \alpha(s) \]), el plano osculatriz es el plano al que tienden estos planos cuando haces tender \[ t \] y \[ t' \] a \[ s \]. Por cierto, esto da también una interpretación geométrica de la curvatura \[ k(s) \]: es el inverso del radio de la circunferencia osculatriz, que es la que se obtiene como límite de las circunferencias que contienen \[ \alpha(s),\alpha(t),\alpha(t') \] cuando \[ t,t' \to s \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Octubre, 2021, 06:43 pm
Respuesta #2

Ricardo Boza

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Sobre lo primero: si \[ \alpha \] está parametrizada por la longitud de curva \[ s \] tenemos que \[ {\bf t}(s) = \alpha'(s) \], y \[ \alpha'(s) \cdot \alpha'(s) = 1 \] para todo \[ s \]. Derivando: \[ 2\alpha''(s) \cdot \alpha'(s)=0 \], luego \[ \alpha''(s) \] es ortogonal a \[ \alpha'(s)={\bf t}(s) \]. Y por definición, \[ k(s) = |\alpha''(s)| \], de manera que \[ {\bf n}(s) = \frac{\alpha''(s)}{k(s)} \] es unitario y ortogonal a \[ {\bf t}(s) \].

Ésta era mi duda, gracias.

A mí me han definido el triedro antes, los planos osculador, normal y rectificante después. Pero supongo que la forma correcta de definir las cosas es primero el vector tangente, vector tangente unitario, plano osculador, vector normal principal, binormal, plano normal y plano rectificante. El problema de definir el vector normal y luego el plano osculador, es que parecería que el plano osculador contiene a los vectores tangente y normal principal por casualidad, cuando no hay casualidad ninguna; se elige el normal principal así porque está contenido en el osculador.

Otra cosa es que hacer las cosas en orden tal como fueron surgiendo suponga resolver los problemas originales, y que hacer esto sea más difícil que exponer las cosas en un orden distinto. Es verdad que el puzzle acaba encajando igualmente, pero se pierde información valiosa por el camino. Y éste quizá sea solo un ejemplo inocuo de esta práctica.
Claro que esto no es más que una pequeña desviación del tema (estoy saliendo por la tangente).