Autor Tema: Subrupo de Lie.

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08 Octubre, 2021, 03:01 pm
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zimbawe

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Hola. Como les comentaba estoy teniendo dificultades con un par de egercicios. El otro es este, quedo atento a cualquier sugerencia.
Sea \(  G  \) un grupo de Lie, con álgebra de Lie \(  g  \)  y supongamos que \(  h  \) es un subálgebra de Lie (un subespacio cerrado por el corchete). Pruebe que \(  D_{g}=\left\{{X_g| X \in h}\right\}  \) es una distribución involutiva de \(  G  \). Muestre que la hoja \(  H  \)  de la distribución \(  D  \) que contiene a la identidad \(  e  \)  es un subgrupo de Lie tal que bajo la identificación \(  g \succeq T_{e}G  \), se tiene que \(  h=d_{i_{e}}(T_e(H))  \) i es la inclusión.

08 Octubre, 2021, 04:27 pm
Respuesta #1

geómetracat

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¿Qué problemas tienes con esto?
Que es involutiva se sigue de que \[ h \] es subálgebra de Lie (luego es cerrada para el corchete). Luego por Frobenius la distribución es integrable y te define una foliación de \[ G \]. La hoja que pasa por \[ e \] tiene espacio tangente \[ D_e \cong h \] (vía la identificación del álgebra de Lie con el tangente en la identidad).

Quizás lo único que no es inmediato es que \[ H \] sea un subgrupo de Lie. Para verlo fíjate que contiene la identidad por hipótesis, y que si \[ x,y \in H \], la curva \[ x\exp(-tY) \], donde \[ Y \in h \]  es tal que \[ y=\exp(Y) \], une \[ x \] con \[ xy^{-1} \] y tiene vector tangente \[ -Y \in h \], luego \[ xy^{-1} \in H \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Octubre, 2021, 03:50 pm
Respuesta #2

zimbawe

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Hola Geómetrecat. Precisamente lo que no podía probar era que H es un subgrupo de Lie. Un millón de gracias.