Autor Tema: Kernel disribución integrable.

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08 Octubre, 2021, 01:49 pm
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zimbawe

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Hola. Estoy teniendo problemas con un par de ejercicios. No sé si podrían ayudarme, con este par de ejercicios.
Sea \(  F: M \longrightarrow{N}  \) una submersión. Muestre que \(  D_{p}=ker(dF_{P})  \) es una distribución de \(  M  \). Muestre que \(  D  \) es una distribución integrable y encuentre las hojas de \(  D  \). Me falta ver que \(  D_{p}  \) es suave. El resto de cosas ya las probé.
Quedo muy agradecido. Mil gracias.

08 Octubre, 2021, 03:07 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Para ver que la distribución es suave, usa el teorema que te dice que una submersión es localmente una proyección (tomando cartas adecuadas). Es decir, siempre puedes tomar cartas \[ U \] centrada en \[ p \in M \] con coordenadas locales \[ (x_1, \dots, x_m) \] y \[ V \] centrada en \[ f(p) \in N \] con coordenadas locales \[ (y_1, \dots, y_n) \] de manera que \[ F \] expresada en estas coordenadas es \[ F(x_1, \dots, x_m) = (x_1, \dots, x_n) \] (como es una submersión, necesariamente \[ m \geq n \]).
Ahora, en estas coordenadas tienes que \[ dF_p:T_pM \to T_{F(p)}N \] es la proyección en las \[ n \] primeras coordenadas, y por tanto \[ D_p = \operatorname{ker}(dF_p) = \langle \partial_{x_{n+1}}, \dots, \partial_{x_m} \rangle  \] para todo \[ p \in U \]. De aquí ya es evidente que \[ D \] es suave.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

10 Octubre, 2021, 03:49 pm
Respuesta #2

zimbawe

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Gracias geómetracat. Todo súper claro.