Autor Tema: Determinante para averiguar plano osculador

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08 Octubre, 2021, 12:35 am
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Ricardo Boza

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Hola

¿Por qué \[ \det (\mathbf{x} - \mathbf{x_0}, \mathbf{\dot x}, \mathbf{\ddot x}) = 0  \] da todos los vectores generados por \[ \{ \mathbf{\dot x}, \mathbf{\ddot x} \}\] ? La pregunta no es si los da, la pregunta es por qué los da. Hablando sin mucho rigor, el determinante para mí es como una herramienta que se sabe que funciona, pero no se sabe por qué.

Puede ser una pregunta básica, y si lo es, mejor. Pero prefiero preguntarlo a quedarme con la duda.

(La duda es más de Álgebra Lineal, pero me ha surgido en Geometría)

08 Octubre, 2021, 01:14 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola

¿Por qué \[ \det (\mathbf{x} - \mathbf{x_0}, \mathbf{\dot x}, \mathbf{\ddot x}) = 0  \] da todos los vectores generados por \[ \{ \mathbf{\dot x}, \mathbf{\ddot x} \}\] ? La pregunta no es si los da, la pregunta es por qué los da.

No entiendo a qué te refieres, el determinante no da nada, más que cero en tu caso parece ser. Un determinante es cero si y solo si sus vectores columna son linealmente dependientes, a lo mejor eso aclara un poco lo que querías preguntar.

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Hablando sin mucho rigor, el determinante para mí es como una herramienta que se sabe que funciona, pero no se sabe por qué.

Bueno, el determinante se conoce muy bien y se sabe por qué "funciona", y es porque es un funcional multilineal antisimétrico, es decir, si \( V \) es un espacio vectorial cualquiera, una función \( f: V^n \to \mathbb{R} \) es multilineal si es lineal en cada uno de sus argumentos, y es antisimétrica si al cambiar de posición dos argumentos el valor de la función cambia de signo, es decir que

\( \displaystyle{
f(x_1,\ldots ,x_j,\ldots ,x_k,\ldots ,x_n)=-f(x_1,\ldots ,x_k,\ldots ,x_j,\ldots ,x_n)\tag1
} \)


Y en general, de (1), se sigue que

\( \displaystyle{
f(x_1,\ldots,x_n)=\operatorname{signo}(\sigma )f(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})\tag2
} \)

para cualquier permutación \( \sigma  \) de la lista ordenada \( (x_1,\ldots,x_n) \).

En el caso del determinante de una matriz cuadrada de tres vectores columna \( x_1,x_2 \) y \( x_3 \) tenemos que \( \det(x_1,x_2,x_3)=-\det(x_2,x_1,x_3) \), lo que se puede comprobar de su definición. Resulta que las funciones multilineales antisimétricas también tienen la propiedad (se puede demostrar de lo dicho antes) que si sus argumentos son linealmente dependientes entonces el valor siempre es cero, y eso ocurre también con el determinante.

Añadido: añadimos demostración de lo anterior. Sea una función multilineal antisimétrica como la de arriba, y supongamos que los vectores \( x_1,\ldots,x_n \) son linealmente dependientes, entonces, sin pérdida de generalidad, podemos asumir que \( x_1=\sum_{k=2}^n c_kx_k \), para unas determinadas constantes \( c_k\in \mathbb{R} \) (estamos asumiendo que \( V \) es un espacio vectorial real, de ahí que las constantes anteriores sean reales), entonces

\( \displaystyle{
f(x_1,\ldots,x_n)=f\left(\sum_{k=2}^n c_kx_k,x_2,\ldots,x_n\right)\overset{(*)}{=}\sum_{k=2}^n c_k f(x_k,x_2,\ldots,x_n)\tag3
} \)

donde el paso marcado con el asterisco (*) se debe a que \( f \) es una función multilineal. Pero ocurre que \( f(x_k,x_2,\ldots,x_n)=0 \) para cada \( k\geqslant 2 \) ya que si intercambiamos las posiciones de los dos vectores \( x_k \) encontramos que

\( \displaystyle{
f(x_k,x_2,\ldots, x_k,\ldots ,x_n)=-f(x_k,x_2,\ldots, x_k,\ldots ,x_n)\implies f(x_k,x_2,\ldots, x_k,\ldots ,x_n)=0\tag4
} \)

Por tanto de (3) finalmente encontramos que \( f(x_1,\ldots ,x_n)=0 \).∎

08 Octubre, 2021, 02:36 pm
Respuesta #2

Ricardo Boza

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Gracias, ahora lo entiendo bastante mejor.

Solo una pequeña duda y es por qué has mencionado 'funcional'.

08 Octubre, 2021, 02:50 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Gracias, ahora lo entiendo bastante mejor.

Solo una pequeña duda y es por qué has mencionado 'funcional'.

Se suelen denominar de funcional a las funciones que van desde espacios vectoriales al cuerpo de escalares del mismo. Es decir, si tenemos un espacio vectorial \( V \) real (es decir, con producto escalar por números reales) entonces una función del tipo \( f:V\to \mathbb{R} \) sería un funcional. Pero ojo, a veces se denomina de funcional a lo que son funcionales lineales, es decir, donde además se exige que \( f \) sea una función lineal (para lo cual se considera el cuerpo de escalares como espacio vectorial). Siempre, con las definiciones matemáticas, hay que conocer el contexto para saber a qué se refiere un término, ya que muchos tienen variaciones y no hay una única definición general.

En el caso anterior \( V^n \) tiene una estructura canónica de espacio vectorial a partir de la estructura de espacio vectorial en \( V \), por lo que podemos denominar toda función que vaya desde \( V^n \) a \( \mathbb{R} \) de funcional.