Autor Tema: Clausura de un subconjunto del plano complejo

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26 Septiembre, 2021, 08:09 pm
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chnhe

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a) Encuentra la clausura \( \bar A \) del conjunto \( A=\left\{1+i^n\dfrac{n}{n+1},\,n\in \Bbb N\right\} \). ¿Es \( B=\Bbb C\setminus \bar A \) un dominio? y en ese caso, ¿es \( B \) simplemente conexo?.

Alguna idea u orientación sobre como calcular la clausura de este conjunto del plano complejo?


Mensaje corregido desde la administración.

26 Septiembre, 2021, 08:31 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular no debes de poner el enunciado de un ejercicio sobre el cuál tienes dudas como imagen adjunta; éstas se reservan para gráficos complementarios del texto. Debes de teclearlo directamente en el mensaje.

 Por esta vez te lo hemos corregido desde la administración.

a) Encuentra la clausura \( \bar A \) del conjunto \( A=\left\{1+i^n\dfrac{n}{n+1},\,n\in \Bbb N\right\} \). ¿Es \( B=\Bbb C\setminus \bar A \) un dominio? y en ese caso, ¿es \( B \) simplemente conexo?.

 Fíjate que si \( r \) el el resto de dividir \( n \) por \( 4 \) tienes que:

\( i^n=\begin{cases}{1}&\text{si}& r=0\\i & \text{si}& r=1\\-1 & \text{si}& r=2\\-i & \text{si}& r=3\end{cases} \)

 Como consecuencia de esto el conjunto A está formado por 4 sucesiones de puntos dos sobre el eje real y dos sobre el imaginario que convergen a cuatro puntos: \( 1+1=2 \), \( 1+i \), \( 1-1=0 \) u \( 1-i \).



 Por tanto la clausura es el conjunto \( A \) junto con los cuatro puntos límite.

 El conjunto \( B \) es abierto por ser el complementario de un cerrado (una clausura siempre es cerrado) y es conexo ya que todo punto del complementario de \( \bar A \):

- Si no está en los ejes se une con el punto \( 1 \) con un segmento en \( B \).
- Si está en los ejes se une con un segmento a otro punto de \( B \) fuera de los ejes.

 Por último no es simplemente conexo, porque el conjunto \( B \) tiene "agujeros": todos los puntos de la sucesión \( A \).

 No sé con que rigurosidad te piden formalizar todo esto.

Saludos.