Autor Tema: Demostrar que se cumple la igualdad

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26 Septiembre, 2021, 06:03 am
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Taniadiaz

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 Resolviendo el producto \(   (a+ib) (cos \theta + i \sin \theta  \) demuestre que:
\( a \sin \theta + b \cos \theta= \sqrt[ ]{a^2+b^2}\sin  [\theta +\arctan \frac{b}{a} ]   \)
Solución:
Tenemos que \( (a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta)  \)
Luego se denota por  \( z = a+ ib  \) y \( w = \cos \theta + i \sin \theta  \)

Desarrollamos:
\( ( a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta) = (a \cos \theta - b \sin \theta) + i(a  \sin \theta + b \cos \theta)  \)
Ahora como estamos multiplicando zw, entonces:
\( arg (zw) = argz + argw  \)
Donde \( \theta = arg w, argz = \arctan \frac{b}{a}  \)
Luego:
\( zw = r (\cos r + \sin r )  \) con
\( r = \theta + \arctan \frac{b}{a}=   \)
\(  =|a + ib| | \cos \theta + i \sin \theta| ( \cos r + i \sin r)   \)
\(  = \sqrt[ ]{a^2 + b^2} ( \cos r + i \sin r )  \) luego
\( ( a \cos \theta - b \sin \theta ) + i( a \sin \theta  + b \cos \theta ) = \sqrt[ ]{a^2 + b ^2} (\cos r + i \sin r)  \)
Al igualar la parte imaginaria
\( a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+ b^2} \sin r \)
\(  a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+b^2} \sin  (\theta + \arctan  (\frac{b}{a}) \) lo he hecho bien ? De no ser así necesito de su ayuda

26 Septiembre, 2021, 04:51 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Está bien.

Saludos.

26 Septiembre, 2021, 05:27 pm
Respuesta #2

Taniadiaz

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26 Septiembre, 2021, 08:52 pm
Respuesta #3

delmar

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Hola
Resolviendo el producto \(   (a+ib) (cos \theta + i \sin \theta  \) demuestre que:
\( a \sin \theta + b \cos \theta= \sqrt[ ]{a^2+b^2}\sin  [\theta +\arctan \frac{b}{a} ]   \)
Solución:
Tenemos que \( (a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta)  \)
Luego se denota por  \( z = a+ ib  \) y \( w = \cos \theta + i \sin \theta  \)


Desarrollamos:
\( ( a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta) = (a \cos \theta - b \sin \theta) + i(a  \sin \theta + b \cos \theta)  \)
Ahora como estamos multiplicando zw, entonces:
\( arg (zw) = argz + argw  \)
Donde \( \theta = arg w, argz = \arctan \frac{b}{a}  \)
Luego:
\( zw = r (\cos r + \sin r )  \) con
\( r = \theta + \arctan \frac{b}{a}= 1  \)
\(  =|a + ib| | \cos \theta + i \sin \theta| ( \cos r + i \sin r)   \)
\(  = \sqrt[ ]{a^2 + b^2} ( \cos r + i \sin r )  \) luego
\( ( a \cos \theta - b \sin \theta ) + i( a \sin \theta  + b \cos \theta ) = \sqrt[ ]{a^2 + b ^2} (\cos r + i \sin r)  \)
Al igualar la parte imaginaria
\( a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+ b^2} \sin r \)
\(  a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+b^2} \sin  (\theta + \arctan  (\frac{b}{a}) \) lo he hecho bien ? De no ser así necesito de su ayuda
Se nota que el razonamiento está correcto, pero hay una parte escrita en forma confusa  empieza con la fórmula \( zw=r(cos r+isen r)  \) se entiende que r es el argumento de zw pero no tiene que ser necesariamente el módulo de zw y de ahí continúan algunas confusiones como igualar r con 1

Saludos

27 Septiembre, 2021, 03:11 am
Respuesta #4

Taniadiaz

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Lo he corregido, de esta forma está bien ? Ayúdame a corregirlo por favor

27 Septiembre, 2021, 07:48 am
Respuesta #5

delmar

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La idea es \( zw=\left |{zw}\right |(cos r+i sen r)=\left |{z}\right |(cos r+i sen r) \) ahi se tiene la idea

Saludos

27 Septiembre, 2021, 12:51 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

 Si; no me fijé en los detalles.
 
Resolviendo el producto \(   (a+ib) (cos \theta + i \sin \theta  \) demuestre que:
\( a \sin \theta + b \cos \theta= \sqrt[ ]{a^2+b^2}\sin  [\theta +\arctan \frac{b}{a} ]   \)
Solución:
Tenemos que \( (a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta)  \)
Luego se denota por  \( z = a+ ib  \) y \( w = \cos \theta + i \sin \theta  \)

Desarrollamos:
\( ( a + ib) ( \cos \theta + i \sin \theta) = (a \cos \theta - b \sin \theta) + i(a  \sin \theta + b \cos \theta)  \)  (*)
Ahora como estamos multiplicando zw, entonces:
\( arg (zw) = argz + argw  \)
Donde \( \theta = arg w, argz = \arctan \frac{b}{a}  \)

Hasta aquí bien. Estás llamando:

\( z=a+bi \)
\( w= \cos \theta + i \sin \theta \)

Citar
Luego:
\( zw = r (\cos r + \sin r )  \) con

Ahi deberías de decir:

\( zw=|zw|(cos(arg(zw))+isin(arg(w)) \)

Pero:

\( |zw|=|z||w|=\sqrt{a^2+b^2} \)
\( r=arg(zw)= argz + argw=\theta+\arctan(b/a) \)

y ahora si:

Citar
\( r = \theta + \arctan \frac{b}{a}=   \)
\(  =|a + ib| | \cos \theta + i \sin \theta| ( \cos r + i \sin r)   \)
\(  = \sqrt[ ]{a^2 + b^2} ( \cos r + i \sin r )  \) luego
\( ( a \cos \theta - b \sin \theta ) + i( a \sin \theta  + b \cos \theta ) = \sqrt[ ]{a^2 + b ^2} (\cos r + i \sin r)  \)
Al igualar la parte imaginaria
\( a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+ b^2} \sin r \)
\(  a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt[ ]{a^2+b^2} \sin  (\theta + \arctan  (\frac{b}{a}) \) lo he hecho bien ? De no ser así necesito de su ayuda

Saludos.