Autor Tema: Curvas parametrizadas

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26 Septiembre, 2021, 03:38 am
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josel_bahia

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Hola a todos. Tengo problemas con un ejercicio, no sé como encararlo realmente.

Probar que no existe una curva parametrizada que trace  \(  y^2-x^2=1  \).

Agradezco sus comentarios.

26 Septiembre, 2021, 03:48 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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Hola josel_bahia !!!! bienvenido al foro!!!!


Esto tiene solución si utilizas funciones hiperbólicas


https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_hiperb%C3%B3lica


\( y=\cosh (t) \)


\( x=\sinh (t) \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

26 Septiembre, 2021, 03:57 am
Respuesta #2

josel_bahia

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Hola Richard

Gracias

Pero eso parametriza solo la porción superior de la hipérbola.
Creo que el ejercicio se refiere a probar que no puedo parametrizar la hipérbola completa con las dos ramas, supongo que tiene que ver con su discontinuidad, pero no se me ocurre como probarlo formalmente.

26 Septiembre, 2021, 04:18 am
Respuesta #3

Masacroso

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Pero eso parametriza solo la porción superior de la hipérbola.
Creo que el ejercicio se refiere a probar que no puedo parametrizar la hipérbola completa con las dos ramas, supongo que tiene que ver con su discontinuidad, pero no se me ocurre como probarlo formalmente.

Puedes parametrizar las dos ramas usando dos intervalos, por ejemplo con algo como

\( \displaystyle{
\gamma :(-3\pi/2,-\pi/2) \cup (\pi/2,3\pi/2)\to \mathbb{R}^2, \quad t\mapsto (\operatorname{sign}(t)(\cosh \circ \tan)(t),(\sinh \circ \tan)(t))
} \)

Ahí \( \gamma  \) sería continua (de hecho es una función suave) aunque su dominio no es conexo. Si definimos curva como un conjunto de puntos conexo entonces lo de antes no es la parametrización de una curva sino la parametrización de la unión de dos curvas disjuntas.

Si tuviésemos una parametrización continua del tipo \( \phi :(a,b)\to \mathbb{R}^2 \) para \( -\infty \leqslant a<b\leqslant \infty  \) entonces, al ser \( \phi  \) continua, su imagen sería necesariamente conexa, de donde deducimos que no es posible definir una parametrización continua con dominio conexo de las dos ramas de la hipérbola. Espero que eso haya aclarado cualquier duda que tuvieras.