Autor Tema: Transformaciones proyectivas

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26 Septiembre, 2021, 01:02 am
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athairdos

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Hola; tengo un par de preguntas sobre transformaciones proyectivas; una para las transformaciones de una recta proyectiva y otra para las de un plano.proyectivo.

En relacion a la primera, se tiene (segun el libro) que, dada la transformacion de una recta por una matriz de 2x2:

\( \begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix} \),

el punto de coordenadas \( \begin{bmatrix}-d&c\end{bmatrix} \) es aplicado al punto del infinito (cuya 2da coordenada es 0).

Ahora, suponiendo que se tiene una transformacion de un plano proyectivo dada por la matriz \( \begin{bmatrix}2&-3&3\\-2&3&0\\-4&0&3\end{bmatrix} \),

es correcto el concepto de que, ahora, se tendra un subespacio (hiperplano) de dimension 2 (o dim. proyectiva=1) que sera aplicado en un hiperplano impropio: a saber, una recta proyectiva (que) sera aplicada en la recta del infinito?

Y, ademas, que tal recta (la que sera aplicada a la recta del inf) corresponderia al espacio dado por la ecuacion:

\( \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}  \) \( \begin{bmatrix}3\\0\\3 \end{bmatrix} =0  \)?

Gracias

26 Septiembre, 2021, 02:59 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola; tengo un par de preguntas sobre transformaciones proyectivas; una para las transformaciones de una recta proyectiva y otra para las de un plano.proyectivo.

En relacion a la primera, se tiene (segun el libro) que, dada la transformacion de una recta por una matriz de 2x2:

\( \begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix} \),

el punto de coordenadas \( \begin{bmatrix}-d&c\end{bmatrix} \) es aplicado al punto del infinito (cuya 2da coordenada es 0).

Ahora, suponiendo que se tiene una transformacion de un plano proyectivo dada por la matriz \( \begin{bmatrix}2&-3&3\\-2&3&0\\-4&0&3\end{bmatrix} \),

es correcto el concepto de que, ahora, se tendra un subespacio (hiperplano) de dimension 2 (o dim. proyectiva=1) que sera aplicado en un hiperplano impropio: a saber, una recta proyectiva (que) sera aplicada en la recta del infinito?

Y, ademas, que tal recta (la que sera aplicada a la recta del inf) corresponderia al espacio dado por la ecuacion:

\( \begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}  \) \( \begin{bmatrix}3\\0\\3 \end{bmatrix} =0  \)?

Si es correcto. Todo esto bajo el supuesto que estás escogiendo una carta afín en la cuál la recta del infinito tenga ecuación \( z=0 \).

Es decir, la recta del infinito es un concepto que no es proyectivo sino afín; y es fruto de una elección.

Saludos.

27 Septiembre, 2021, 04:57 am
Respuesta #2

athairdos

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Gracias! Entonces la recta del infinito podria tomar ecuaciones tales.como:

1-\( z=d \),

2-\( ax+by+cz=0 \), y (quizas tambien)

3-\( ax+by+cz=d \)?

Tendria sentido hablar en algun modo de, en el 1er caso, una derivada asociada simple; y en los casos 2do y 3ro, de derivadas asociadas parciales : \( {\partial x} \), \( {\partial y} \) y \( {\partial z} \)?

Gracias

27 Septiembre, 2021, 08:54 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

1-\( z=d \),   ¡NO!

2-\( ax+by+cz=0 \) ¡SI!, y (quizas tambien)

3-\( ax+by+cz=d \) ?   ¡NO!

En el plano proyectivo la ecuación de una recta viene dada por una ecuación homogénea, es decir, como la que indicas en el punto (2). La (1) y la (3) no son ecuaciones válidas: no son compatible con la relación de equivalencia de \( \Bbb R^3 \) que nos permite construir el plano proyectivo identificando vectores proporcionales.

Citar
Tendria sentido hablar en algun modo de, en el 1er caso, una derivada asociada simple; y en los casos 2do y 3ro, de derivadas asociadas parciales : \( {\partial x} \), \( {\partial y} \) y \( {\partial z} \)?

Me pierdo completamente aquí; no sé a que viene hablar de derivadas.

Saludos.

27 Septiembre, 2021, 06:28 pm
Respuesta #4

athairdos

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Gracias! Tiene sentido hablar de los pares:

\( \begin{Bmatrix}z=d\\z=0\end{Bmatrix} \) y

\( \begin{Bmatrix}ax+by+cz=d\\ax+by+cz=0\end{Bmatrix} \)

como (respecto de) 2 formas de elección de una carta afín (siendo el primer caso, un caso especial del segundo caso)?

Gracias

27 Septiembre, 2021, 07:47 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

\( \begin{Bmatrix}z=d\\z=0\end{Bmatrix} \) y

\( \begin{Bmatrix}ax+by+cz=d\\ax+by+cz=0\end{Bmatrix} \)

como (respecto de) 2 formas de elección de una carta afín (siendo el primer caso, un caso especial del segundo caso)?

La pregunta: "¿tiene sentido?", es muy abierta. No sé si tiene sentido. Yo desde luego no le encuentro sentido alguno.

Saludos.