Autor Tema: Definición de curva

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25 Septiembre, 2021, 08:01 am
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Ricardo Boza

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Corregidme si me equivoco, pero una "curva regular en \[ \mathbb{R}^m \] es" LA "clase de equivalencia de la relación anterior". No cualquiera.

De todas formas, me pregunto si está bien considerar que una curva es una clase de equivalencia. Sí, el grafo es el mismo, pero el sentido del recorrido o la velocidad con que el parámetro describe la curva pueden ser muy distintos. En una asignatura donde se ven las características geométricas 'locales' de las curvas no tiene sentido introducir esta definición. Tiene sentido referirse al 'grafo' de una curva. Una curva en el sentido 'matemático' no debería ser su grafo, debería ser cómo está descrita.

25 Septiembre, 2021, 11:13 am
Respuesta #1

geómetracat

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Corregidme si me equivoco, pero una "curva regular en \[ \mathbb{R}^m \] es" LA "clase de equivalencia de la relación anterior". No cualquiera.
Yo diría: una curva regular es UNA clase de equivalencia de la relación anterior. La relación anterior es una relación de equivalencia en el conjunto de las curvas parametrizadas regulares, y hay muchas clases de equivalencia (tantas como c.p.r. distintas salvo reparametrización). No hay una única clase de equivalencia.

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De todas formas, me pregunto si está bien considerar que una curva es una clase de equivalencia. Sí, el grafo es el mismo, pero el sentido del recorrido o la velocidad con que el parámetro describe la curva pueden ser muy distintos. En una asignatura donde se ven las características geométricas 'locales' de las curvas no tiene sentido introducir esta definición. Tiene sentido referirse al 'grafo' de una curva. Una curva en el sentido 'matemático' no debería ser su grafo, debería ser cómo está descrita.
Pues depende de para qué. En geometría diferencial suele ser más útil considerar las curvas parametrizadas, pero en otros contextos (o incluso algunos contextos dentro de geometría diferencial), puede ser útil considerar la definición del texto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

25 Septiembre, 2021, 12:52 pm
Respuesta #2

Ricardo Boza

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Okay, lo he entendido.

Si no digo nada es que no tengo dudas, para no embarullarlo todo con un mensaje que sólo ponga 'Gracias'. Que no se confunda con descortesía.