Autor Tema: Normalizador de las matrices diagonales en el grupo general lineal

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

25 Septiembre, 2021, 07:25 am
Leído 99 veces

FerOliMenNewton

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 319
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos,
Quiero probar que si \( G=GL(n;\mathbb{F}) \) y \( T \) es el subgrupo de \( G \) que consta de matrices diagonales entonces el normalizador de \( T \) en el grupo son las matrices monomiales, es decir matrices de la forma
\( M=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}E_{i,\sigma(i)}} \)
Donde \( \sigma \in{S_{n}}  \) ,los \( x_{i} \neq 0 \), y \( E_{ij} \) es la matriz que tiene un \( 1 \) en la entrada \( (i,j) \) y cero en todas las demás. Me queda claro que si \( M \) es monomial entonces está en el normalizador pero al revés no tanto.
Si \( A\in{N_{G}}(T) \) entonces para toda \( D \in T \) existe \( B \in T \) tal que \( AD=BA \). Si escribimos la matriz \( A \) como \( \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}E_{ij}} \) entonces nos queda que
\( a_{ij}(D_{j}-B_{i})=0 \)
para todas \( i,j \in \left\{{1, \ldots , n}\right\} \) no?. Donde \( D=\displaystyle\sum_{i=1}^n{D_{i}E_{ii}} \) y similarmente con \( B \). "Visualmente" esa ecuación nos dice que el \( i \)-ésimo renglón está multiplicado por \( D_{j} \)  mientras que la \( j \)-ésima columna por \( B_{i} \).
Pero de aquí no me queda claro cómo concluir. ¿Alguna sugerencia?.
De antemano muchas gracias.


25 Septiembre, 2021, 03:56 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,046
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola a todos,
Quiero probar que si \( G=GL(n;\mathbb{F}) \) y \( T \) es el subgrupo de \( G \) que consta de matrices diagonales entonces el normalizador de \( T \) en el grupo son las matrices monomiales, es decir matrices de la forma
\( M=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}E_{i,\sigma(i)}} \)
Donde \( \sigma \in{S_{n}}  \) ,los \( x_{i} \neq 0 \), y \( E_{ij} \) es la matriz que tiene un \( 1 \) en la entrada \( (i,j) \) y cero en todas las demás. Me queda claro que si \( M \) es monomial entonces está en el normalizador pero al revés no tanto.
Si \( A\in{N_{G}}(T) \) entonces para toda \( D \in T \) existe \( B \in T \) tal que \( AD=BA \). Si escribimos la matriz \( A \) como \( \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{a_{ij}E_{ij}} \) entonces nos queda que
\( a_{ij}(D_{j}-B_{i})=0 \)
para todas \( i,j \in \left\{{1, \ldots , n}\right\} \) no?. Donde \( B=\displaystyle\sum_{i=1}^n{D_{i}E_{ii}} \) y similarmente con \( D \). "Visualmente" esa ecuación nos dice que el \( i \)-ésimo renglón está multiplicado por \( D_{j} \)  mientras que la \( j \)-ésima columna por \( B_{i} \).
Pero de aquí no me queda claro cómo concluir. ¿Alguna sugerencia?.
De antemano muchas gracias.

 De ahi puedes probar que en cada fila sólo puede haber un ejemplo no nulo. Efectivamente si en la fila \( i \) tienes \( a_{ij},a_{ik}\neq 0 \) tomando \( D_j=0 \) y \( D_{k}=1 \) tendrías:

\( a_{ij}(D_{j}-B_{i})=0\quad \Rightarrow{}\quad 0=D_j=B_i \)
\( a_{ik}(D_{k}-B_{i})=0\quad \Rightarrow{}\quad 1=D_k=B_i \)  ¡Contradicción!.

 Para terminar ten en cuenta que una matriz inversible que en cada fila sólo tiene un elemento no nulo, no puede tener dos elementos no nulos en la misma columna, ya que en ese caso tendría una columna de ceros.

Saludos.

25 Septiembre, 2021, 06:53 pm
Respuesta #2

FerOliMenNewton

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 319
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis,
El problema con eso es que no puedo tomar ningún \( D_{i} \) como cero, ya que la matriz \( D \) debe ser una matriz diagonal invertible.
Saludos.
Añadido: Pero creo que podemos modificar el argumento exigiendo que \( D_{j} \neq D_{k} \) :).  ¡Muchas gracias!.

25 Septiembre, 2021, 08:45 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,046
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Añadido: Pero creo que podemos modificar el argumento exigiendo que \( D_{j} \neq D_{k} \) :).  ¡Muchas gracias!.

Exacto. En realidad si cogí el uno y el cero, es porque pretendía que el argumento fuese válido en cualquier cuerpo y todos los cuerpos tienen neutro para la suma \( 0 \) y neutro para el producto \( 1 \). Pero olvidé de que las matrices diagonales tenían que ser inversibles.

Así que el resultado es cierto en cualquier cuerpo con más de dos elementos. No sería cierto para \( \Bbb F=\Bbb Z_2 \) caso en el que el subgrupo \( T \) es de matrices inversibles es trivial, formado sólo por la identidad.

Saludos.

26 Septiembre, 2021, 01:35 am
Respuesta #4

FerOliMenNewton

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 319
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¡Es verdad! El campo tiene que tener más de 2 elementos. Muchas gracias!
Saludos.