Autor Tema: Curvas y teorema función inversa

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25 Septiembre, 2021, 07:13 am
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Ricardo Boza

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Una duda que siempre he tenido acerca del teorema de la función inversa. Se asegura la existencia de inversa de una función de varias variables, pero no se dice nada acerca del cálculo de dicha inversa. Además, el intervalo de la variable donde la función cumple las condiciones del teorema puede ser muy difícil; por lo que a la función respecta, ésta no tiene por qué estar definida de manera sencilla en intervalos 'prismáticos' de la variable, la función puede comportarse como un verdadero demonio, y no ser biyectiva en una cantidad muy grande de conjuntos de dimensiones y forma 'caprichosas'. Así que muchas veces me he preguntado si el teorema de la función inversa dice algo realmente. (Sé que lo dice, pero...)

La otra duda es que se añade que \[ \alpha \] es un homeomorfismo local sobre su imagen. Puesto que \[ \alpha \in C^{k}, \, k\geq 1 \], me pregunto por qué no habrá dicho difeomorfismo. Es como poder coger dos caramelos y sólo quedarse con uno.

25 Septiembre, 2021, 11:20 am
Respuesta #1

geómetracat

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Una duda que siempre he tenido acerca del teorema de la función inversa. Se asegura la existencia de inversa de una función de varias variables, pero no se dice nada acerca del cálculo de dicha inversa. Además, el intervalo de la variable donde la función cumple las condiciones del teorema puede ser muy difícil; por lo que a la función respecta, ésta no tiene por qué estar definida de manera sencilla en intervalos 'prismáticos' de la variable, la función puede comportarse como un verdadero demonio, y no ser biyectiva en una cantidad muy grande de conjuntos de dimensiones y forma 'caprichosas'. Así que muchas veces me he preguntado si el teorema de la función inversa dice algo realmente. (Sé que lo dice, pero...)
Todo lo que dices es cierto, pero eso no quita importancia al teorema de la función inversa. Una cosa es que no sirva para calcular explícitamente inversas, y otra que no sirva para nada. Al contrario, el teorema de la función inversa es la piedra angular de la topología diferencial. Prácticamente cualquier resultado fundacional sobre variedades diferenciables depende de una manera u otra del teorema de la función inversa. Cosas como que una inmersión es localmente como una inclusión, o que las subvariedades tienen cartas adaptadas (que son resultados utilísimos) dependen directamente del teorema de la función inversa. Decir que no sirve para nada es como decir que las demostraciones no constructivas (que te dicen que existe algo, pero no te dan explícitamente el objeto buscado) no sirven para nada.

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La otra duda es que se añade que \[ \alpha \] es un homeomorfismo local sobre su imagen. Puesto que \[ \alpha \in C^{k}, \, k\geq 1 \], me pregunto por qué no habrá dicho difeomorfismo. Es como poder coger dos caramelos y sólo quedarse con uno.
Yo tampoco lo entiendo, yo hubiera dicho difeomorfismo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)