Autor Tema: Punto singular de una curva.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Septiembre, 2021, 10:24 pm
Leído 77 veces

Ricardo Boza

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 694
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

Sea \[ \alpha \] una curva parametrizada. Si existe \[ t_0 \in (a,b) \] tal que \[ \alpha'(t_0) = 0 \], el punto \[ \alpha(t_0) \] se llama punto singular. La singularidad puede deberse a la aplicación (no esencial) o al conjunto de puntos imagen (esencial).

No entiendo el matiz.

Gracias,

Saludos.

24 Septiembre, 2021, 11:08 pm
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,000
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola,

Sea \[ \alpha \] una curva parametrizada. Si existe \[ t_0 \in (a,b) \] tal que \[ \alpha'(t_0) = 0 \], el punto \[ \alpha(t_0) \] se llama punto singular. La singularidad puede deberse a la aplicación (no esencial) o al conjunto de puntos imagen (esencial).

No entiendo el matiz.

Gracias,

Saludos.

está mal
Si te digo la verdad, yo tampoco sé a lo que se refiere, ya que en principio que un punto de una curva sea singular o no es independiente de la parametrización que se utilice. Es decir: si la curva es regular (es decir, que es de tipo \( C^1 \)) entonces para cualquier parametrización que tomemos de ella los puntos singulares van a ser siempre los mismos, la parametrización no cambia eso.
[cerrar]

Corrección: ni caso, ciertamente sí es posible "añadir" puntos singulares (no esenciales), como muestra Luis más abajo.

24 Septiembre, 2021, 11:14 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,046
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sea \[ \alpha \] una curva parametrizada. Si existe \[ t_0 \in (a,b) \] tal que \[ \alpha'(t_0) = 0 \], el punto \[ \alpha(t_0) \] se llama punto singular. La singularidad puede deberse a la aplicación (no esencial) o al conjunto de puntos imagen (esencial).

No entiendo el matiz.

En el primer caso, se puede reparametrizar la misma curva de manera que el punto no sea singular. Por ejemplo este arco de circunferencia



parametrizado como:

\( \alpha(t)=(cos(t^3),sin(t^3)) \) con \( t\in (-1,1) \)

tendría un punto singular cuando \( t=0 \) en \( \alpha(0)=(1,0) \). Pero no tendría punto singular alguno si la parametrizamos como:

\( \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \) con \( t\in (-1,1) \)

Sin embargo esta otra no hay manera de parametrizarlo sin que presente un punto singular en el origen:

\( \alpha(t)=(t^2,t^3) \) con \( t\in (-1,1) \)



Saludos.

25 Septiembre, 2021, 12:45 am
Respuesta #3

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,000
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Sea \[ \alpha \] una curva parametrizada. Si existe \[ t_0 \in (a,b) \] tal que \[ \alpha'(t_0) = 0 \], el punto \[ \alpha(t_0) \] se llama punto singular. La singularidad puede deberse a la aplicación (no esencial) o al conjunto de puntos imagen (esencial).

No entiendo el matiz.

En el primer caso, se puede reparametrizar la misma curva de manera que el punto no sea singular. Por ejemplo este arco de circunferencia



parametrizado como:

\( \alpha(t)=(cos(t^3),sin(t^3)) \) con \( t\in (-1,1) \)

tendría un punto singular cuando \( t=0 \) en \( \alpha(0)=(1,0) \). Pero no tendría punto singular alguno si la parametrizamos como:

\( \alpha(t)=(cos(t),sin(t)) \) con \( t\in (-1,1) \)

Sin embargo esta otra no hay manera de parametrizarlo sin que presente un punto singular en el origen:

\( \alpha(t)=(t^2,t^3) \) con \( t\in (-1,1) \)



Saludos.

Ostras, pues vaya patinazo el mío. Implícitamente estaba asumiendo que toda parametrización tenía que ser un embebimiento, pero esto ciertamente no es necesario :banghead:

25 Septiembre, 2021, 12:54 am
Respuesta #4

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,659
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Ostras, pues vaya patinazo el mío. Implícitamente estaba asumiendo que toda parametrización tenía que ser un embebimiento, pero esto ciertamente no es necesario :banghead:

En realidad tampoco es tan patinazo, porque sí es cierto, y se usa mucho en geometría diferencial, que cualquier reparametrización de una curva no singular es no singular (aquí con curva entendida como aplicación, no como la imagen).

El truco está en que cuando allí se habla de "reparametrización" se refiere a precomponer con un difeomorfismo, mientras que en el ejemplo de Luis se usa el homeomorfismo \[ t \mapsto t^3 \], que no es un difeomorfismo (no tiene inversa diferenciable).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)