Autor Tema: Decreciente

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23 Septiembre, 2021, 03:05 pm
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Quema

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Quiero probar que esta función es decreciente en \( n \).

\( f_k(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}{\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i}}
 \)

No se puede simplificar con el teorema del binomio. Otra forma que se me ocurre es analizar el signo de \( f_k(n)-f_k(n+1). \)

23 Septiembre, 2021, 05:08 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Quiero probar que esta función es decreciente en \( n \).

\( f_k(n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{k-1}{\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i}}
 \)

No se puede simplificar con el teorema del binomio. Otra forma que se me ocurre es analizar el signo de \( f_k(n)-f_k(n+1). \)

Pero es creciente, ¿no?.

No. Es decreciente.


Saludos.

CORREGIDO

23 Septiembre, 2021, 07:25 pm
Respuesta #2

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Se puede probar analíticamente?

24 Septiembre, 2021, 10:55 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Se puede probar analíticamente?

Pues debería... pero no acaba de salirme.

Si \( X_n \) es una binomial \( B(n+1,\dfrac{k}{n+1}) \) se tiene que:

\( f_k(n)=P(1\leq X_n\leq k) \)

Pero tampoco gano nada en principio con esa interpretación.

¿En qué contexto aparece esto?.

Saludos.

24 Septiembre, 2021, 02:12 pm
Respuesta #4

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En este artículo que ya había preguntado anteriormente. Creo que ya habías contestado en este mensaje

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=111142.msg439438#msg439438


De todas formas, creo que se requiere que \( P(X_i=a_i)=1/a_i \) y ahí creo que no se distribuye Binomial me parece.

En el artículo, dice que probar que \( P(X_1+X_2+...+X_n\leq{}n+1)\geq{}1/e \) es equivalente a probarlo para toda \( X_i \) que tome dos valores uno de los cuales es cero, pero no me queda claro si las \( X_i \) son idénticamente distribuidas o simplemente prueba que cada una de las variables aleatorias toma el valor \( 0 \) (Teorema 1).

Yo creo que es equivalente a que las \( X_i \) se distribuyan \( P(X_i=a_i)=1/a_i,P(X_i=0)=1-1/a_i \) con \( a_i\geq{}1. \) Luego hace el análisis si las \( X_i \) tuvieran la misma distribución y llega a un punto donde se tiene que analizar el comportamiento de \( f_k(n). \) Ahora, si no tuvieran la misma distribución, no tendría distribución Poisson con \( \lambda=\displaystyle\sum_{i=1}^n{1/a_i} \)?






27 Septiembre, 2021, 01:16 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Quiero probar que esta función es decreciente en \( n \).

\( f_k(n)=\displaystyle\sum_{\color{red}i=1\color{black}}^{k-1}{\displaystyle\binom{n}{i}(\displaystyle\frac{k}{n+1})^i(\displaystyle\frac{n+1-k}{n+1})^{n-i}}
 \)

No se puede simplificar con el teorema del binomio. Otra forma que se me ocurre es analizar el signo de \( f_k(n)-f_k(n+1). \)

El sumatorio empieza en \( i=0 \).

En este artículo que ya había preguntado anteriormente. Creo que ya habías contestado en este mensaje

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=111142.msg439438#msg439438


De todas formas, creo que se requiere que \( P(X_i=a_i)=1/a_i \) y ahí creo que no se distribuye Binomial me parece.

En el artículo, dice que probar que \( P(X_1+X_2+...+X_n\leq{}n+1)\geq{}1/e \) es equivalente a probarlo para toda \( X_i \) que tome dos valores uno de los cuales es cero, pero no me queda claro si las \( X_i \) son idénticamente distribuidas o simplemente prueba que cada una de las variables aleatorias toma el valor \( 0 \) (Teorema 1).

El artículo demuestra que dadas variables \( Y_i \) independientes y de esperanza \( 1 \) existen variables \( X_i \) independientes y de esperanza \( 1 \) (no necesariamente idénticamente distribuidad), que sólo toman dos valores el \( 0 \) y otro tales que:

 \( P(Y_1+Y_2+...+Y_n\leq{}n+1)\geq P(X_1+X_2+...+X_n\leq{}n+1) \)

La consecuencia de esto es que si uno pretende estudiar el problema de minimizar \( P(Y_1+Y_2+...+Y_n\leq{}n+1) \), siendo  \( Y_i \) independientes y de esperanza \( 1 \), uno puede ceñirse al caso en el que tales variables sólo toman cada una de ellas el valor cero y otro.

Después demuestra que, en el caso particular de que además de tomar dos valores (el cero y otro), las variables sean idénticamente distribuídas:

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} {}P(X_1+X_2+...+X_n\leq{}n+1)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty} f_k(n)\geq \dfrac{1}{e} \)

Entonces le faltan dos cosas:

1) Probar que  tales \( f_j(n) \) son decrecientes en \( n \); entonces como consecuencia del límite que ha demostrado se cumpliría que:

\( P(X_1+X_2+\ldots+X_2\leq n+1)\geq \dfrac{1}{e} \)

siendo las \( X_i \) equidistribuídas e independientes con valores en \( (n+1)/k \) y cero, \( P(X_i=n+1/k)=k/(n+1) \).

2) Que en el problema de minimizar \( P(Y_1+Y_2+...+Y_n\leq{}n+1) \), siendo  \( Y_i \) independientes y de esperanza \( 1 \), no solo uno puede ceñirse al caso en el que tales variables sólo toman cada una de ellas el valor cero y otro, sinó que además el mínimo se alcanza en el caso en el que estas variables son equidistribuídas.

Citar
Ahora, si no tuvieran la misma distribución, no tendría distribución Poisson con \( \lambda=\displaystyle\sum_{i=1}^n{1/a_i} \)?

¿La suma? No.

Saludos.

P.D. Con la corrección del índice, que empieza en \( i=0 \) se tiene que:

Si \( Z_n \) es una binomial \( B(n+1,\dfrac{k}{n+1}) \) se tiene que:

\( f_k(n)=P(Z_n< k) \)

27 Septiembre, 2021, 03:16 pm
Respuesta #6

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Claro le falta probar que \( f_k(n)=P(Z_n< k) \) es decreciente, que creo ya lo has probado en otro mensaje. Faltaría probar que basta ceñirse con que variables idénticamente distribuidas, el dice algo así como que lo analiza con un factor \( k \) pero creo que esos no prueba nada.

27 Septiembre, 2021, 07:54 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Claro le falta probar que \( f_k(n)=P(Z_n< k) \) es decreciente, que creo ya lo has probado en otro mensaje.

¿Dónde? No soy consciente de haberlo probado.  :P

Citar
Faltaría probar que basta ceñirse con que variables idénticamente distribuidas, el dice algo así como que lo analiza con un factor \( k \) pero creo que esos no prueba nada.

Pero en el propio artículo reconoce que le faltaría probar que el mínimo se alcanza cuando son equidistribuidas.

Saludos.

27 Septiembre, 2021, 08:37 pm
Respuesta #8

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27 Septiembre, 2021, 08:40 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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