Autor Tema: Función Integrable

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23 Septiembre, 2021, 07:49 am
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lex

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Buenas alguna orientación sería de ayuda.

Sea \( \Omega=[0,1] \) dotado de la \( \sigma \)-álgebra de Borel \( \mathscr{B}(\Omega) \) y sea \( \mu \) la medida de Lebesgue restringida a \( \Omega \). Sea \( f \) integrable en \( \Omega \), tal que \( f(x)>0 \) para todo \( x\in \Omega \). Probar que:

\( \forall \epsilon >0: \displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\displaystyle\int_A f d\mu >0 \)

23 Septiembre, 2021, 10:27 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Buenas alguna orientación sería de ayuda.

Sea \( \Omega=[0,1] \) dotado de la \( \sigma \)-álgebra de Borel \( \mathscr{B}(\Omega) \) y sea \( \mu \) la medida de Lebesgue restringida a \( \Omega \). Sea \( f \) integrable en \( \Omega \), tal que \( f(x)>0 \) para todo \( x\in \Omega \). Probar que:

\( \forall \epsilon >0: \textrm{inf}_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\displaystyle\int_A f d\mu >0 \)

En primer lugar si denotas por \( E_n=\{x\in [0,1]|f(x)<1/n\} \) se tiene que:

\( \displaystyle\lim_{E_n\to{+}\infty}{}\mu(E_n)=0 \) (*)

Por otra parte supongamos que la tesis es falsa; entonces existe \( \epsilon>0 \) tal que para todo \( k>0 \) existe un \( A_k \) tal que \( \mu(A_k)>\epsilon \) y:

\( \displaystyle\int_{A_k} f d\mu<k \)  (**)

Pero por (1), existe \( n \) tal que \( \mu(E_n)<\dfrac{\epsilon}{2} \). Como \( \mu(A_k)>\epsilon \):

\( A_k'=\{x\in A_k|f(x)\geq 1/n\} \) cumple que \( \mu(A_k')>\dfrac{\epsilon}2 \)

Entonces:

\( \displaystyle\int_{A_k} f d\mu\geq \displaystyle\int_{A_k'} f d\mu\geq \dfrac{\mu(A_k')}{n}\geq \dfrac{\epsilon}{2n} \)  (**)

lo cuál contradice (**) si tomamos \( k<\dfrac{\epsilon}{2n} \).

Saludos.

24 Septiembre, 2021, 07:35 am
Respuesta #2

lex

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Hola Luis había estado pensando algo de esta forma no se si estará correcto, no se me ocurrió por contradicción

Sean \( (f_n)_{n\geq{1}} \) y \( g \) tal que \( \displaystyle\lim_{n}f_n(\omega)\geq{g(\omega)} \) entonces \( \displaystyle\lim_{n}\int f_n d\mu\geq{\int g d\mu} \) (1)

Ahora con \( f_n\uparrow f \), notar que por el teorema de convergencia monótona  se tiene que \( \displaystyle\lim_{n}\int f_n d\mu = \displaystyle\int fd\mu \) (2)

Luego por (1) y (2) y escribiendo \( \displaystyle\int_{A}g d\mu = \sum_{k=1}^{n}d_k \mu(A) \)

Ahora, dado \( \epsilon >0 \), escogiendo \( A \) tal que \( \mu(A)\geq{\epsilon} \),

\( \displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\displaystyle\int_A f d\mu \geq{\displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\sum_{k=1}^{n}d_k \cdot \epsilon}\geq{\epsilon \cdot  \displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\sum_{k=1}^{n}d_k} \)

Como \( 0< \sum_{k=1}^{n}d_k < + \infty \), entonces

\( \displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\displaystyle\int_A f d\mu\geq{\epsilon \cdot D} > 0 \), con \( D=\displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\sum_{k=1}^{n}d_k \)

24 Septiembre, 2021, 09:09 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis había estado pensando algo de esta forma no se si estará correcto, no se me ocurrió por contradicción

Sean \( (f_n)_{n\geq{1}} \) y \( g \) tal que \( \displaystyle\lim_{n}f_n(\omega)\geq{g(\omega)} \) entonces \( \displaystyle\lim_{n}\int f_n d\mu\geq{\int g d\mu} \) (1)

Ahora con \( f_n\uparrow f \), notar que por el teorema de convergencia monótona  se tiene que \( \displaystyle\lim_{n}\int f_n d\mu = \displaystyle\int fd\mu \) (2)

Luego por (1) y (2) y escribiendo \( \displaystyle\int_{A}g d\mu = \sum_{k=1}^{n}d_k \mu(A) \)

No entiendo. ¿Quienes son esos \( d_k \)? ¿Cuál es la función \( g(x) \)?. Sospecho que estás tratando de trabajar con funciones simples. Pero no lo sé.

Desde luego a esa expresión no le veo mucho sentido. Si \( g(x) \) es una función simple, debería de ser algo así:

\( \displaystyle\int_{A}g d\mu = \sum_{k=1}^{n}d_k \mu(\color{red}A_k\color{black}) \)

Pero en cualquier caso tampoco veo sentido a como sigues:

Citar
Ahora, dado \( \epsilon >0 \), escogiendo \( A \) tal que \( \mu(A)\geq{\epsilon} \),

\( \displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\displaystyle\int_A f d\mu \geq{\displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\sum_{k=1}^{n}d_k \cdot \epsilon}\geq{\epsilon \cdot  \displaystyle\inf_{A\in \mathscr{B}(\Omega)\\ \mu(A)\geq{\epsilon}}\sum_{k=1}^{n}d_k} \)

Sin precisar quienes son esos \( d_k \) no queda claro porque son ciertas esas desigualdades.

Saludos.

25 Septiembre, 2021, 01:02 am
Respuesta #4

lex

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Si por ahí va la idea, tratando de trabajar con funciones simples.

25 Septiembre, 2021, 01:40 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Si por ahí va la idea, tratando de trabajar con funciones simples.

Bien. ¿Pero entiendes los errores concretos qué te he indicado?.

Saludos.

28 Septiembre, 2021, 05:48 pm
Respuesta #6

lex

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Buenas, Si Luis le he prestado atención a los errores que me has indicado. Igual precisando quienes son los \( d_k \) si podría justificarse la cadena de desigualdades??

Por otra parte tu primer comentario con respecto a la solución, si me ha costado un poco comprenderlo.

28 Septiembre, 2021, 06:00 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Buenas, Si Luis le he prestado atención a los errores que me has indicado. Igual precisando quienes son los \( d_k \) si podría justificarse la cadena de desigualdades??

No sabría decirte; porque no he llegado a entender exactamente cómo querías plantear la demostración. Escribe algo concreto y te digo.

Citar
Por otra parte tu primer comentario con respecto a la solución, si me ha costado un poco comprenderlo.

¿Pero finalmente lo has entendido? En caso contrario, si quieres, plantea las dudas que te han surgido.

Saludos.

28 Septiembre, 2021, 06:25 pm
Respuesta #8

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Buenas, si entiendo lo que me dices de escribir algo concreto, creo que estaba forzando la prueba por esa vía.

Con respecto a las dudas, ya las escribo.

01 Octubre, 2021, 04:05 am
Respuesta #9

lex

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Buenas, Luis por acá de nuevo.

A ver si voy entendiendo la idea.
Supongamos que existe un \( c>0 \) tal que \( f(x)\geq{c}>0 \), luego se tiene que \( \displaystyle\int_A f\,d\mu\geq{\int_A c\,d\mu}\geq{c} \mu (A) \)

En particular, se tiene que  \( \inf_{\mu (A)\geq{\epsilon}}\displaystyle\int_A f\,d\mu \geq{c\cdot \epsilon}>0 \)
Eso seria en el caso Simple.

Ahora para extrapolar esa idea de manera general, se considera algún conjunto de la forma que indicas, ahí estaba mi duda el porque de ese conjunto, luego se plantea la prueba por contradicción.

Ahora la pregunta es, se podría tomar el conjunto \( E_n=\{x\in [0,1]|f(x)\geq{1/n}\} \) ??