Autor Tema: Inmersión isométrica local de $$\mathbb H^n$$ en $$\mathbb R^{2n-1}$$

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22 Septiembre, 2021, 12:55 am
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Zaragoza

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Buenas tardes, estaba leyendo el artículo Über die Deformation der Räume constanten Riemannschen Krümmungsmaasses de Friedrich Schur, en el cual menciona que en un espacio $$\mathbb R^{2n-1}$$, existe un espacio $$n-$$dimensional de curvatura de Riemann negativa constante. Dada por $$(1\leq k\leq n-1)$$
\begin{align*}
x_{2k-1}&=\frac{a^2}{z_n}\cos \frac{z_k}{a}\\
x_{2k}&=\frac{a^2}{z_n}\sen \frac{z_k}{a}\\
x_{2n-1}&=a\int^{z_n}\frac{\sqrt{z_n^2-(n-1)a^2}}{z_n^2}dz_n
\end{align*}
pero no logro hacer bien los cálculos o tal vez estoy haciendo algo mal... alguien me puede ayudar o bien dando una manera de hacer el cálculo rápido y preciso, o alguna otra idea? Si alguien conoce otra superficie con tales características en $$\mathbb R^{2n-1}$$ le agradecería mucho lo mencione o tal vez la referencia de donde encontrarlo.
Muchas gracias.

22 Septiembre, 2021, 01:42 am
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas tardes, estaba leyendo el artículo Über die Deformation der Räume constanten Riemannschen Krümmungsmaasses de Friedrich Schur, en el cual menciona que en un espacio $$\mathbb R^{2n-1}$$, existe un espacio $$n-$$dimensional de curvatura de Riemann negativa constante. Dada por $$(1\leq k\leq n-1)$$
\begin{align*}
x_{2k-1}&=\frac{a^2}{z_n}\cos \frac{z_k}{a}\\
x_{2k}&=\frac{a^2}{z_n}\sen \frac{z_k}{a}\\
x_{2n-1}&=a\int^{z_n}\frac{\sqrt{z_n^2-(n-1)a^2}}{z_n^2}dz_n
\end{align*}
pero no logro hacer bien los cálculos o tal vez estoy haciendo algo mal... alguien me puede ayudar o bien dando una manera de hacer el cálculo rápido y preciso, o alguna otra idea? Si alguien conoce otra superficie con tales características en $$\mathbb R^{2n-1}$$ le agradecería mucho lo mencione o tal vez la referencia de donde encontrarlo.
Muchas gracias.

Asumiendo que el sistema de coordenadas \( z_1,\ldots ,z_n \) esté bien definido, entonces la métrica de ese subespacio vendría dada calculando los \( (dx_{2k-1})^2=(d\frac{a^2}{z_n}\cos \frac{z_k}{a})^2 \) sumando todo y viendo que sea equivalente a la métrica de \( \mathbb{H}^n \).

Buscando sobre embebimientos de \( \mathbb{H}^n \) es espacios euclídeos he encontrado esto:

http://davidbrander.org/penn.pdf

23 Septiembre, 2021, 03:07 am
Respuesta #2

Zaragoza

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Asumiendo que el sistema de coordenadas \( z_1,\ldots ,z_n \) esté bien definido, entonces la métrica de ese subespacio vendría dada calculando los \( (dx_{2k-1})^2=(d\frac{a^2}{z_n}\cos \frac{z_k}{a})^2 \) sumando todo y viendo que sea equivalente a la métrica de \( \mathbb{H}^n \).

Buscando sobre embebimientos de \( \mathbb{H}^n \) es espacios euclídeos he encontrado esto:

http://davidbrander.org/penn.pdf

Exacto, efectivamente sale lo que mencionas, lo que ocurre es que me he confundido un poco con lo siguiente: Sea $$\phi:(M_1,g_1)\to(M_2,g_2)$$ tal que $$\phi^*g_2=g_1$$, entonces se concluye que ¿? ¿$$M_1$$ está inmersa isométricamente de manera local en $$M_2$$? ¿$$M_1$$ está inmersa isométricamente en $$M_2$$?

Ejemplificaré mis dudas a detalle, es sencillo ver que en

$$x_1=\int_{1/R}^{y_1}\frac{\sqrt{R^2y^2-1}}{y^2}dy,\quad x_2=\frac{\cos (Ry_2)}{y_1},\quad x_3=\frac{\sen(Ry_2)}{y_1}$$

tenemos $$dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2=\frac{dy_1^2+dy_2^2}{y_1^2}$$ (la cual es una inmersión isométrica de una parte del plano hiperbólico) pero además la superficie generada es la pseudoesfera, que tiene curvatura $$K\equiv -1$$ (la cual se puede calcular con la fórmula de Gauss). El teorema de Hilbert asegura que esta superficie no es completa (sin usar dicho teorema puedo tomar una geodésica que no se pueda extender a todo $$\mathbb R$$). Mis preguntas son pensando en $$\mathbb R^n$$ y no en $$\mathbb R^3$$ (es decir la superficie que puse en mi pregunta original):
  • Cómo puedo llegar a que es realmente una inmersión local? Basta con que el pullback de una métrica sea una métrica?
  • Teniendo una inmersión local como puedo ver que realmente es una inmersión global?
  • Cómo puedo concluir que la superficie de mi ejemplo original tiene curvatura constante?
  • Qué es lo que realmente puedo concluir al tener que el pullback de una métrica es otra métrica?
  • Qué es lo que realmente puedo concluir al tener que el pullback de una métrica completa es otra métrica completa? Mi pregunta es intencional porque ya sea en $$\mathbb R^n$$ o $$\mathbb H^n$$ sus métricas son completas, pero por ejemplo la imagen $$(x_1,x_2,x_3)$$ hace un momento no es una superficie completa
  • Alguna idea para probar que la imagen no es una superficie completa?
Me he confundido mucho con todo esto, me podrías ayudar con eso? O darme alguna referencia donde leer esto de manera clara?

23 Septiembre, 2021, 08:49 am
Respuesta #3

geómetracat

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Exacto, efectivamente sale lo que mencionas, lo que ocurre es que me he confundido un poco con lo siguiente: Sea $$\phi:(M_1,g_1)\to(M_2,g_2)$$ tal que $$\phi^*g_2=g_1$$, entonces se concluye que ¿? ¿$$M_1$$ está inmersa isométricamente de manera local en $$M_2$$? ¿$$M_1$$ está inmersa isométricamente en $$M_2$$?
Puedes concluir que está inmersa isométricamente de manera local, pero no que esté inmersa isométricamente.
Más precisamente, el resultado que responde a la mayoría de tus preguntas es el siguiente: si \[ \phi:M \to N \] es una aplicación diferenciable, y \[ g \] una métrica en \[ N \], entonces \[ \phi^*g \] es una métrica en \[ M \] si y solo si \[ \phi \] es una inmersión (no necesariamente inyectiva). La demostración no es muy difícil. \[ (\phi^* g)_p \] es siempre una forma bilineal simétrica. Falta ver que es definida positiva si y solo si \[ d\phi_p \] es inyectiva. En efecto, tenemos que \[ (\phi^* g) (v,v) = g(d\phi_p(v),d\phi_p(v)) \] para todo \[ v \in T_p M \]. Si \[ \phi^*g \] es métrica, entonces para todo \[ v \neq 0 \] tienes que \[ g(d\phi_p(v),d\phi_p(v))>0 \] y por tanto \[ d\phi(v) \neq 0 \], lo que prueba que \[ \phi \] es inmersión. Y al revés, si \[ \phi \] es inmersión, entonces para \[ v \neq 0 \] tienes que  \[ d\phi(v) \neq 0 \], y como \[ g \] es definida positiva, \[ (\phi^* g) (v,v) = g(d\phi_p(v),d\phi_p(v))>0 \], luego \[ \phi^*g \] es definida positiva.

Tomando cualquier \[ \phi:M \to N \] que sea inmersión pero no inyectiva, cualquier métrica en \[ N \] y la métrica pullback en \[ M \], el resultado te da un ejemplo en que \[ M \] está inmersa isométricamente de manera local en \[ N \], pero no está inmersa isométricamente en \[ N \].

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Ejemplificaré mis dudas a detalle, es sencillo ver que en

$$x_1=\int_{1/R}^{y_1}\frac{\sqrt{R^2y^2-1}}{y^2}dy,\quad x_2=\frac{\cos (Ry_2)}{y_1},\quad x_3=\frac{\sen(Ry_2)}{y_1}$$

tenemos $$dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2=\frac{dy_1^2+dy_2^2}{y_1^2}$$ (la cual es una inmersión isométrica de una parte del plano hiperbólico) pero además la superficie generada es la pseudoesfera, que tiene curvatura $$K\equiv -1$$ (la cual se puede calcular con la fórmula de Gauss). El teorema de Hilbert asegura que esta superficie no es completa (sin usar dicho teorema puedo tomar una geodésica que no se pueda extender a todo $$\mathbb R$$). Mis preguntas son pensando en $$\mathbb R^n$$ y no en $$\mathbb R^3$$ (es decir la superficie que puse en mi pregunta original):
  • Cómo puedo llegar a que es realmente una inmersión local? Basta con que el pullback de una métrica sea una métrica?
Sí, como he puesto más arriba.
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  • Teniendo una inmersión local como puedo ver que realmente es una inmersión global?
Tienes que ver que la aplicación es inyectiva. No hay ningún procedimiento general (que yo sepa), tienes que mirarlo en cada caso. Fíjate que a diferencia de la condición de isometría o de inmersión, que sea inyectiva es una propiedad global, por lo que no te va a bastar con mirar información local.
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  • Cómo puedo concluir que la superficie de mi ejemplo original tiene curvatura constante?
Calculando el tensor de curvatura de Riemann, o encontrando una isometría local al espacio hiperbólico. No se me ocurre ningún camino más sencillo ahora mismo, lo cual no quiere decir que no lo haya.
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  • Qué es lo que realmente puedo concluir al tener que el pullback de una métrica es otra métrica?
Lo que puse más arriba: que la aplicación es una inmersión (no necesariamente inyectiva).
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  • Qué es lo que realmente puedo concluir al tener que el pullback de una métrica completa es otra métrica completa? Mi pregunta es intencional porque ya sea en $$\mathbb R^n$$ o $$\mathbb H^n$$ sus métricas son completas, pero por ejemplo la imagen $$(x_1,x_2,x_3)$$ hace un momento no es una superficie completa
No estoy seguro, pero diría que poca cosa en general, más allá de la obviedad de que el pullback es una métrica completa. Lo que quiero decir es que no creo que puedas concluir en general nada especial sobre la aplicación a partir únicamente del hecho de que la métrica pullback es completa.
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  • Alguna idea para probar que la imagen no es una superficie completa?
Únicamente se me ocurren los procedimientos usuales: encontrar una geodésica que no se pueda extender, una sucesión de Cauchy que no converja, ...
Si dices que puedes probar que hay una geodésica en el caso \[ n=2 \] que no extiende, probablemente la misma idea te sirva para el caso general de dimensión \( n \). Es decir, la restricción de la aplicación a \[ (x_1,x_2,0,\dots,0,x_{2n-1}) \] te da el ejemplo del que dices que sabes probar que no es completo. Y tiene toda la pinta de que la imagen de esta restricción es totalmente geodésica en la imagen de la aplicación completa, así que ya lo tendrías hecho.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Septiembre, 2021, 07:20 am
Respuesta #4

Zaragoza

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Wooow muchas gracias por tu gran respuesta, lamento no citarla pero es muy grande. Respecto a mi pregunta de la curvatura constante, por las forma que tiene y haciendo los cálculos sale que $$\mathbb H^n$$ está inmersa isométricamente de manera local en la superficie imagen, lo cual concluye todo sobre su curvatura. En $$\mathbb R^3$$, este resultado viene dado por el teorema de Gauss-Bonnet para superficies (sino me equivoco), en general para variedades Riemannianas debe haber un resultado análogo imagino (si hay alguna referencia para leer su demostración quedaría muy agradecido). Por otro lado, a modo de práctica estuve tratando de probar por el tensor de Riemann y los símbolos de Christofell que dicha superficie imagen tiene curvatura constante $$-1/a^2$$, pero no lo he conseguido y son muchos pasos lo que hice para tipearlos, si alguien con algún tiempo libre puede darle luz respecto a eso se lo agradecería mucho ya que ando 5 días viendo mis posibles errores y reintentando pero nada de salirme. Muchas gracias nuevamente.

Cita de: geómetracat
Tomando cualquier \[ \phi:M \to N \] que sea inmersión pero no inyectiva, cualquier métrica en \[ N \] y la métrica pullback en \[ M \], el resultado te da un ejemplo en que \[ M \] está inmersa isométricamente de manera local en \[ N \], pero no está inmersa isométricamente en \[ N \].
Respecto a esto, Rozendorn dió una inmersión isométrica no inyectiva de todo plano hiperbólico $$\mathbb H^2$$ en $$\mathbb R^5$$. Eso va en contra de lo que mencionas o tal vez lo entendí mal.  :banghead:

28 Septiembre, 2021, 08:54 am
Respuesta #5

geómetracat

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Wooow muchas gracias por tu gran respuesta, lamento no citarla pero es muy grande. Respecto a mi pregunta de la curvatura constante, por las forma que tiene y haciendo los cálculos sale que $$\mathbb H^n$$ está inmersa isométricamente de manera local en la superficie imagen, lo cual concluye todo sobre su curvatura.
Bien, entonces ya está.

Citar
En $$\mathbb R^3$$, este resultado viene dado por el teorema de Gauss-Bonnet para superficies (sino me equivoco), en general para variedades Riemannianas debe haber un resultado análogo imagino (si hay alguna referencia para leer su demostración quedaría muy agradecido).
Pues en realidad no hay nada tan bonito como Gauss-Bonnet. En dimensiones superiores aparecen varios problemas. Primero, que ya no hay "una" curvatura (como la curvatura gaussiana en el caso de superfícies) sino que cada plano tangente (en cada punto) tiene asociada una curvatura (lo que se llama curvatura seccional). Cuando se dice que los espacios hiperbólicos tienen curvatura constante \[ -1 \] se refiere a que tiene curvatura seccional constante \[ -1 \]. Es decir, que para cada punto de la variedad y cada plano del tangente en ese punto, la curvatura seccional asociada es \[ -1 \]. Conocer todas las curvaturas seccionales es equivalente a conocer el tensor de curvatura de Riemann, por eso basta con calcular este tensor para saber si es de curvatura constante o no. Al margen de esto, tienes la curvatura escalar, que se obtiene a partir del tensor de curvatura de Riemann pero que pierde información (básicamente es algo así como la media de las curvaturas seccionales asociadas a todos los planos tangentes en un punto). Esta se parece a la curvatura gaussiana en el sentido de que es una función que asigna un real a cada punto de la variedad. Pero el problema es que conocer la curvatura escalar no basta para recuperar toda la información sobre las curvaturas seccionales. El que una variedad tenga curvatura escalar constante no implica en general que tenga curvatura seccional constante.

Segundo, como generalización directa de Gauss-Bonnet, tienes el teorema de Chern-Gauss-Bonnet, que generaliza Gauss-Bonnet a variedades de dimensión par cualesquiera. Puedes echar un vistazo por ahí, aunque es algo más técnico que el teorema de Gauss-Bonnet (te dice que puedes calcular la característica de Euler de una variedad integrando una función de la \[ 2 \]-forma diferencial de curvatura asociada a la conexión de Levi-Civita). Siguiendo ese camino puedes llegar a la teoría de Chern-Weil, que es algo precioso pero todavía más técnico y que se aleja un poco de lo que es la geometría riemanniana.
Para dimensiones impares no hay análogo de Gauss-Bonnet, y no lo hay porque la característica de Euler de cualquier variedad de dimensión impar es \[ 0 \], por lo que esto no te da ninguna información.


Citar
Por otro lado, a modo de práctica estuve tratando de probar por el tensor de Riemann y los símbolos de Christofell que dicha superficie imagen tiene curvatura constante $$-1/a^2$$, pero no lo he conseguido y son muchos pasos lo que hice para tipearlos, si alguien con algún tiempo libre puede darle luz respecto a eso se lo agradecería mucho ya que ando 5 días viendo mis posibles errores y reintentando pero nada de salirme. Muchas gracias nuevamente.
Yo ahora no tengo tiempo para ponerme a hacer los cálculos, pero si algún día te animas a escribir lo que has intentado sí me lo puedo mirar.


Citar
Respecto a esto, Rozendorn dió una inmersión isométrica no inyectiva de todo plano hiperbólico $$\mathbb H^2$$ en $$\mathbb R^5$$. Eso va en contra de lo que mencionas o tal vez lo entendí mal.  :banghead:
No contradice lo que digo. Precisamente lo que digo que hay ejemplos de inmersiones isométricas no inyectivas (y en la cita que pones explico cómo constuir ejemplos de esto).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Septiembre, 2021, 05:36 pm
Respuesta #6

Zaragoza

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Entiendo muchas gracias por toda la información y todas tus respuestas  :aplauso:
Una última pregunta, si llego a tener $$\phi^*g_N=a\cdot g_M$$, donde $$g_M$$ es una métrica $$M$$, entonces ¿puedo concluir que $$\phi(M)$$ tiene curvatura constante (o el tensor de Riemann) igual a $$-1/a$$?
Esto que pregunto es solamente mi intuición (o corazonada) pero me gustaría saber si voy por buen camino o hay algún contraejemplo rápido.  ???

28 Septiembre, 2021, 10:38 pm
Respuesta #7

geómetracat

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Sí, suponiendo que \[ (N,g_N) \] sea una variedad de curvatura seccional constante \[ -1 \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)