Autor Tema: Idea para funciones trigonométricas parabólicas

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13 Septiembre, 2021, 01:26 pm
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Masacroso

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El otro día, mientras leía un libro de geometría riemanniana, tuve una idea para definir funciones trigonométricas generalizadas a todo tipo de cónicas. Lo expongo por si a alguien le resulta interesante.

La idea es utilizar el espacio de Minkowski \( \mathbb{R}^{2,1} \) con métrica \( \mathfrak{m}=(dx)^2+(dy)^2-(dz)^2 \) (para el sistema de coordenadas cartesiano) y una rotación como base para la construcción de tales funciones trigonométricas.

El espacio de Minkowski \( \mathbb{R}^{2,1} \) no es más que \( \mathbb{R}^3 \) pero con un producto interior diferente, que se denomina producto escalar en este caso porque no cumple los axiomas que se le exigen a un producto interior, que se define como \( \langle z,w \rangle:=z_1w_1+z_2w_2-z_3w_3  \) para vectores cualesquiera \( z=(z_1,z_2,z_3),\, w=(w_1,w_2,w_3) \) (en coordenadas cartesianas) del fibrado tangente de \( \mathbb{R}^3 \).

Vamos al lío. Definimos

\( \displaystyle{
P:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: z=1\},\quad C:=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2=z^2\,\land\, z\geqslant 0\}\\
\operatorname{rot}_\alpha :\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3,\quad  (x,y,z)\mapsto (x\cos \alpha-z\operatorname{sen}\alpha ,y,x\operatorname{sen}\alpha +z\cos  \alpha)\\
g_\alpha :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^3,\quad  (x,y)\mapsto \operatorname{rot}_\alpha (x,y,1)\\
C_\alpha :=g^{-1}_{\alpha }(C\cap \operatorname{rot}_\alpha (P))
} \)

La idea es la siguiente: \( P \) es un plano y \( C \) un cono. La función \( \operatorname{rot}_\alpha  \) es una rotación sobre el eje \( Y \), la cual se puede representar matricialmente (respecto a la base estándar en \( \mathbb{R}^3 \)) como

\( \displaystyle{
[\operatorname{rot}_\alpha ]=\begin{bmatrix}
\cos \alpha &0&-\operatorname{sen}\alpha \\0&1&0\\ \operatorname{sen}\alpha &0&\cos \alpha
\end{bmatrix}
} \)

Luego \( C_\alpha  \) son figuras cónicas representadas sobre \( \mathbb{R}^2 \), son justamente las curvas generadas de la intersección de \( C \) con una rotación del plano \( P \), que a través de \( g^{-1}_\alpha  \) las representamos como curvas en \( \mathbb{R}^2 \).

La idea de las funciones trigonométricas es la siguiente: el producto escalar varía dependiendo de la rotación, es decir, a cada plano sobre la que aparece cada cónica se le asocia el producto escalar inducido por \( \mathfrak{m} \). En coordenadas locales, es decir, sobre \( \mathbb{R}^2 \) el producto escalar toma la forma

\( \displaystyle{
g_{\alpha }^* \mathfrak{m}=(dy)^2+(\cos ^2 \alpha -\operatorname{sen}^2\alpha )(dx)^2
} \)

lo que significa que

\( \displaystyle{
\langle (a,b),(c,d) \rangle =cd+ (\cos ^2 \alpha -\operatorname{sen}^2\alpha )ab
} \)

para cualesquiera vectores \( (a,b),\, (c,d) \) del fibrado tangente de \( C_{\alpha } \).

Usando ese producto escalar y un punto de referencia de la curva que esté sobre el eje \( X \), al que denominaremos \( O_\alpha  \), entonces si asociamos a cada punto de la cónica \( p\in C_\alpha  \) la longitud de arco necesaria para llegar a él desde el punto de referencia \( O_\alpha  \) (longitud de arco a la que podemos dotar de signo dependiendo de la dirección en la que recorremos la cónica desde \( O_\alpha  \) y que denominaremos \( \ell _p \)) entonces tenemos una función \( \mathbb{R}\ni \ell_p \mapsto  p=(p_1,p_2)\in \mathbb{R}^2 \) y podemos definir

\( \displaystyle{
\operatorname{trig}_{1,\alpha }(\ell _p):=p_1,\quad \operatorname{trig}_{2,\alpha }(\ell _p):=p_2
} \)

En el caso de \( \alpha =0 \) tenemos que \( \operatorname{trig}_{1,0}(\ell _p)=\cos (\ell _p) \) y \( \operatorname{trig}_{2,0}(\ell _p)=\operatorname{sen} (\ell _p) \), con \( O_0=(0,1) \), ya que la parametrización \( t\mapsto (\cos t,\operatorname{sen}t) \) es por longitud de arco en su producto escalar correspondiente. Algo parecido ocurre con la rama de hipérbola \( C_{\pi/2} \) con \( O_{\pi/2}=(0,1) \), en este caso tenemos que \( \operatorname{trig}_{1,\pi/2}(\ell _p)=\cosh (\ell _p) \) y \( \operatorname{trig}_{2,\pi/2}(\ell _p)=\operatorname{senh} (\ell _p) \) ya que la parametrización \( t\mapsto (\cosh t,\operatorname{senh} t) \) es por longitud de arco (en el producto escalar correspondiente).

Así este modelo nos permite definir unas funciones trigonométricas en la parábola \( C_{\pi/4} \), con \( O_{\pi/4}=(0,0) \), ya que en este caso tenemos que \( t\mapsto (t^2/2,t) \) es una parametrización por longitud de arco, dejando entonces el coseno y seno parabólico como \( \operatorname{cosp} t:=t^2/2 \) y \( \operatorname{senp} t:=t \).

Por último decir que estas funciones trigonométricas generalizadas son solución a la ecuación diferencial dada por

\( \displaystyle{
(\operatorname{trig}_{2,\alpha }')^2+(\cos ^2\alpha -\operatorname{sen}^2\alpha )(\operatorname{trig}_{1,\alpha }')^2=1
} \)

No sé si servirá para algo, pero me he entretenido un rato con esta tontuna  :laugh: