Autor Tema: Embeddings e Inmersiones

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07 Septiembre, 2021, 07:38 pm
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Zaragoza

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Hola, tengo una consulta, sabemos que una aplicación diferenciable $$f:S\to \mathbb R^n$$ es una inmersión si $$df_p:T_pS\to T_{f(p)}\mathbb R^n$$ es inyectiva. Y si además $$f$$ induce una métrica en $$S$$, es decir $$\langle v,w\rangle_p =\langle df_p(v),df_p(w)\rangle$$ para todo $$v,w\in T_pS$$, se dice que $$f$$ es una inmersión isométrica. Diremos que $$f$$ es un embedding si $$f$$ es una inmersión y un homeomorfismo sobre su imagen.

Mi pregunta es la siguiente, si tengo una inmersión isométrica inyectiva, puedo concluir que es un embedding? Caso contrario, cual sería un contraejemplo.

07 Septiembre, 2021, 07:59 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola, tengo una consulta, sabemos que una aplicación diferenciable $$f:S\to \mathbb R^n$$ es una inmersión si $$df_p:T_pS\to T_{f(p)}\mathbb R^n$$ es inyectiva. Y si además $$f$$ induce una métrica en $$S$$, es decir $$\langle v,w\rangle_p =\langle df_p(v),df_p(w)\rangle$$ para todo $$v,w\in T_pS$$, se dice que $$f$$ es una inmersión isométrica. Diremos que $$f$$ es un embedding si $$f$$ es una inmersión y un homeomorfismo sobre su imagen.

Mi pregunta es la siguiente, si tengo una inmersión isométrica inyectiva, puedo concluir que es un embedding? Caso contrario, cual sería un contraejemplo.

Piensa en esta aplicación:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R^2 \)

\( f(t)=(cos(t),sin(t)) \)

Saludos.

07 Septiembre, 2021, 08:54 pm
Respuesta #2

Zaragoza

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Piensa en esta aplicación:

\( f:\Bbb R\to \Bbb R^2 \)

\( f(t)=(cos(t),sin(t)) \)

Saludos.

Te refieres a esto verdad?
\( f:[a,a+2\pi)\to \Bbb R^2 \)
\( f(t)=(cos(t),sin(t)) \)

la cual es una biyección, donde además $$f'(t)$$ es inyectiva, pero no es un homeomorfismo.

07 Septiembre, 2021, 09:02 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Te refieres a esto verdad?
\( f:[a,a+2\pi)\to \Bbb R^2 \)
\( f(t)=(cos(t),sin(t)) \)

la cual es una biyección, donde además $$f'(t)$$ es inyectiva, pero no es un homeomorfismo.

Supongo que Luis se refería a eso, pero es un ejemplo un poco feo porque \[ [a,a+2\pi) \] es una variedad con borde.

El ejemplo típico de subvariedad (sin borde) inmersa pero no embebida es la figura 8, por ejemplo con la parametrización \[ (-\pi,\pi) \mapsto (\sin(t),\sin(2t)) \]. Esta aplicación es una inmersión inyectiva pero no es un embedding. De hecho la imagen, que es la figura 8, topológicamente no es una variedad.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

07 Septiembre, 2021, 09:29 pm
Respuesta #4

Zaragoza

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Supongo que Luis se refería a eso, pero es un ejemplo un poco feo porque \[ [a,a+2\pi) \] es una variedad con borde.

El ejemplo típico de subvariedad (sin borde) inmersa pero no embebida es la figura 8, por ejemplo con la parametrización \[ (-\pi,\pi) \mapsto (\sin(t),\sin(2t)) \]. Esta aplicación es una inmersión inyectiva pero no es un embedding. De hecho la imagen, que es la figura 8, topológicamente no es una variedad.
Tienes mucha razón, muchas gracias por ese ejemplo, no lo había pensado.