Autor Tema: Ideales de un anillo de funciones infinitamente diferenciables

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Septiembre, 2021, 09:11 pm
Leído 148 veces

Danbtwski

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 16
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Buenas a todos.

Estoy intentando resolver el ejercicio que os adjunto en imagen, pero no llego a nada razonable. ¿Me podéis echar una mano?

Sea \( A=C(\Bbb R^2) \) el anillo de las funciones infinitamente diferenciables en \( \Bbb R^2 \). Sea \( a\in \Bbb R^2 \), denotemos por \( m_a \)el ideal de \( A \) consistente en las \( f\in A \) tales que \( f(a)=0 \) y sea \( n_a \)el ideal formado por aquellas \( f\in A \) que se anulan idénticamente en algún entorno de \( a \). Probar que:

\( n_a\subset m_a^2 \).

Gracias de antemano.

Mensaje corregido desde la administración.

03 Septiembre, 2021, 11:20 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,736
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Una idea. Si \[ f \] se anula en un entorno \[ U \] de \[ a \], puedes escribir \[ f=fg \] donde \[ g \] es una función diferenciable que se anula en \[ a \] y vale \[ 1 \] fuera de \[ U \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Septiembre, 2021, 04:48 pm
Respuesta #2

Danbtwski

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 16
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Gracias por el aporte geometracat. Creo que ya he sacado algo en conclusión. Entonces si \( g(a)=0 \), las funciones que pertenecen a \( m_a \) serían de la forma \( f^2 \) por definición. No se si van por ahí los tiros.

07 Septiembre, 2021, 10:47 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,413
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola

Gracias por el aporte geometracat. Creo que ya he sacado algo en conclusión. Entonces si \( g(a)=0 \), las funciones que pertenecen a \( m_a \) serían de la forma \( f^2 \) por definición. No se si van por ahí los tiros.

mmmm no.

Las funciones de \( n_a \) son las funciones que se anulan en un entorno de \( a \).
Las funciones de \( m_a \) son las funciones que se anulan en el punto \( a \).
Por definición de producto de ideales \( m_a^2 \) está formado por las funciones sumas de productos de dos funciones que se pertenecen a \( m_a \), es decir, sumas de productos de pares de funciones que se anulan en \( a \).

Ahora lo que indica geómetracat, es que dada \( f \) anulándose en un entorno de \( a \), puede escribirse como \( f=f\cdot g \) donde \( g \) es una función que se anula en \( a \). Es decir toda función de \( n_a \) se escribe como producto de dos funciones de \( m_a \) y por tanto \( n_a\subset m_a^2 \).

Saludos.