Autor Tema: Variedad diferenciable

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

30 Agosto, 2021, 05:49 pm
Leído 124 veces

Danbtwski

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 16
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Buenas tardes. Estoy atascado con el siguiente ejercicio:

Sea \( f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^3 \) una aplicación diferenciable y \( S \) una variedad diferenciable de dimensión \( 2 \) de \( \mathbb{R}^3 \). Suponga que se verifica la condición siguiente: \( Im(df_a)+T_{f(a)}M=\mathbb{R}^3 \) para todo \( a\in{f^{-1}(S)} \). Muestre entonces que \( f^{-1}(S) \) es una variedad diferenciable de dimension \( n-1 \).

Agradecería si me echaran una mano. Muchas gracias.

31 Agosto, 2021, 05:04 am
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,104
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Buenas tardes. Estoy atascado con el siguiente ejercicio:

Sea \( f:\mathbb{R}^n\longrightarrow\mathbb{R}^3 \) una aplicación diferenciable y \( S \) una variedad diferenciable de dimensión \( 2 \) de \( \mathbb{R}^3 \). Suponga que se verifica la condición siguiente: \( Im(df_a)+T_{f(a)}M=\mathbb{R}^3 \) para todo \( a\in{f^{-1}(S)} \). Muestre entonces que \( f^{-1}(S) \) es una variedad diferenciable de dimension \( n-1 \).

Agradecería si me echaran una mano. Muchas gracias.

Primero: hay que asumir que \( S \) es una subvariedad regular, entonces \( f^{-1}(S) \) también lo será. Entonces, y para que no vayas dando palos de ciego, como \( S \) es regular entonces localmente es el conjunto de nivel regular cero de una función suave, es decir que existe un abierto \( U \) en \( \mathbb{R}^3 \) y una función \( g:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R} \) tal que \( g^{-1}(0)=U\cap S \) donde cero sería un valor regular de \( g \).

A partir de ahí, debido a la condición de transversalidad, se puede demostrar que para \( h:f^{-1}(U)\to \mathbb{R},\, v\mapsto (g\circ {\color{red}{f}})(v) \) el cero es un valor regular y \( h^{-1}(0)=f^{-1}(U\cap S) \), es decir, que \( f^{-1}(S) \) es una subvariedad regular, de codimensión uno, en \( \mathbb{R}^n \).

Corregido.

31 Agosto, 2021, 05:22 pm
Respuesta #2

Danbtwski

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 16
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Mmmm claro! No lo había visto así! Genial. Muchas gracias Masacroso. Me quedó claro. Un saludo y muchas gracias.