Autor Tema: Plano tangente.

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28 Agosto, 2021, 12:00 pm
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zimbawe

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Hola. Requiero ayuda con este ejercicio. Quedo muy agradecido a quien me ayude a destrabarme.
Sea \(  F: \mathbb{R^{n}} \longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función diferenciable y \(  c \in \mathbb{R}  \) un valor regular. Sea \(  i: F^{-1}(c)   \) la inclusión. E identifiquemos \(  T_p F^{-1}(c)    \) con el subespacio  \(  d_{i_p}(T_p F^{-1}(c))   \) de \(  T_p (\mathbb{R^{n}})    \) pruebe que:
\(  T_p F^{-1}(c)=(\nabla F(P))^{\perp}=\{ v \in \mathbb{R^{n}} | <v, \nabla F(p)=0  \}  \)

28 Agosto, 2021, 01:03 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Hola. Requiero ayuda con este ejercicio. Quedo muy agradecido a quien me ayude a destrabarme.
Sea \(  F: \mathbb{R^{n}} \longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función diferenciable y \(  c \in \mathbb{R}  \) un valor regular. Sea \(  i: F^{-1}(c)   \) la inclusión. E identifiquemos \(  T_p F^{-1}(c)    \) con el subespacio  \(  d_{i_p}(T_p F^{-1}(c))   \) de \(  T_p (\mathbb{R^{n}})    \) pruebe que:
\(  T_p F^{-1}(c)=(\nabla F(P))^{\perp}=\{ v \in \mathbb{R^{n}} | <v, \nabla F(p)=0  \}  \)

Si llamas \( S:=F^{-1}(c) \) entonces \( S \) es una subvariedad regular de codimensión \( 1 \) (a las que se les denomina también como hipersuperficies), o lo que es lo mismo, una subvariedad regular de dimensión \( n-1 \). Entonces \( G:=F\circ i \) es una función suave también, ya que tanto \( F \) como \( i \) lo son. Como \( G \) es la función constante \( G(p)=c \) tenemos que su diferencial es cero, es decir que \( dG_p\equiv 0 \) para cualquier \( p\in S \) (para ver esto se pueden usar curvas en \( S \)). Como \( dG_p: T_pS\to T_c\mathbb{R}\cong \mathbb{R},\, v\mapsto 0 \) y sin embargo el rango de \( F \) es uno (ya que es una submersión en un entorno de \( S \)) eso significa que existe algún \( v\in T_p(\mathbb{R}^n) \) tal que \( dF_p(v)\neq 0 \).

Ahora, como \( dG_p=dF_p\circ di_p \) (regla de la cadena de los diferenciales) y \( di_p: T_pS\to T_p(\mathbb{R}^n) \) es inyectiva, entonces podemos identificar \( T_pS \) con un subespacio vectorial de \( T_p(\mathbb{R}^n) \). Finalmente, debido al isomorfismo musical, por definición tenemos que \( \langle w,\nabla F(p) \rangle :=dF_p(w) \), y cuando \( w\in T_pS \) encontramos que \( dF_p(w)=dG_p(w)=0 \), por tanto \( \operatorname{span}(\nabla F(p))=(T_pS)^\bot  \) respecto a la métrica dada.∎

Corregido: lo de antes tenía un error que ya he corregido, y es que había elegido originalmente un vector \( v\in T_p(\mathbb{R}^n) \) tal que \( dF_{p}(v)\neq 0 \) y expresado que \( \operatorname{span}(v)=(T_pS)^\bot  \), lo cual es falso en general ya que tal \( v \) no es necesariamente ortogonal a \( T_pS \), para que fuese ortogonal debe darse el caso de que \( \langle v,w \rangle =0 \) para todo \( w\in T_pS \), que es justamente lo que ocurre al tomar \( v= \nabla F(p) \).

Modificación: he cambiado a la notación de formas diferenciales \( dF \) en vez de la de pushforward \( F_* \) debido a que, en este contexto, es lo generalmente utilizado, al ser \( F \) un funcional.

28 Agosto, 2021, 02:30 pm
Respuesta #2

zimbawe

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Eres un crack Masacroso. Un millon de gracias.