Autor Tema: Demostrar que la proyección \[\pi:TM\to M\] es una submersión

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28 Agosto, 2021, 05:53 am
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zimbawe

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola, buenas noches. Pido excusas, pero de nuevo estoy presentando problemas para proceder con las siguientes demostraciones y creo que es porque se me dificulta calcular el diferencial por su definición tan extraña.
El primero es:
a) Sea \(  M  \) una variedad y \(  TM  \) su fibrado tangente. Probar que \(  \pi: TM \rightarrow{M}  \) es una submersión.
He hecho las siguientes identificaciones. Dado \(  (p,v)  \in TM  \), \(  \pi_{*}: T_{(p,v)} TM\rightarrow{T_{\pi((p,v)}}M  \) mi problema es calcular el diferencial para mostrar que es sobreyectivo. No sé si se puede utilizando curvas.

28 Agosto, 2021, 07:27 am
Respuesta #1

Masacroso

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Hola, buenas noches. Pido excusas, pero de nuevo estoy presentando problemas para proceder con las siguientes demostraciones y creo que es porque se me dificulta calcular el diferencial por su definición tan extraña.
El primero es:
a) Sea \(  M  \) una variedad y \(  TM  \) su fibrado tangente. Probar que \(  \pi: TM \rightarrow{M}  \) es una submersión.
He hecho las siguientes identificaciones. Dado \(  (p,v)  \in TM  \), \(  \pi_{*}: T_{(p,v)} TM\rightarrow{T_{\pi((p,v)}}M  \) mi problema es calcular el diferencial para mostrar que es sobreyectivo. No sé si se puede utilizando curvas.

Puedes usar el hecho de que \( TM \) es localmente trivial, es decir, que para \( p\in M \) existe un entorno \( U \) de \( p \) tal que \( TU\cong U\times \mathbb{R}^n \). Es decir, locamente tienes que \( \tilde \pi: U\times \mathbb{R}^n\to U,\, (p,v)\mapsto p \), donde \( \tilde \pi=\pi \circ \Phi  \) localmente (siendo \( \Phi  \) el difeomorfismo que trivializa \( TU \)). Entonces \( T(U\times \mathbb{R}^n)\cong TU\times \mathbb{R}^n \). Por ahí debe simplificarse bastante el ejercicio, especialmente si tomamos ahora \( U \) como el dominio de una carta, entonces puedes escribir el diferencial de \( \pi \) en coordenadas locales como la derivada de una función entre conjuntos abiertos de espacios euclídeos.

Para la otra pregunta mejor abre otro tema porque sino va a ser difícil contestar los detalles. También he cambiado el título del tema en base a esto.

Añado: otra forma más inmediata es utilizar la caracterización de funciones de rango constante, es decir, \( F: M\to N \) es una función suave entre variedades de dimensión \( m \) y \( n \), y tiene rango constante \( j \) si y solo si para cada punto \( p\in M \) existen cartas  \( (U,\varphi ) \) y \( (V,\psi ) \), con \( \varphi (U)\subset V \), tales que respecto a esas cartas localmente \( F \) tiene la forma

\( \displaystyle{
\hat F(x_1,\ldots ,x_m)=(x_1,\ldots ,x_j,0,0,\ldots,0 )
} \)

Si \( F \) fuese una submersión significa que \( m\geqslant n \) y localmente se vería como

\( \displaystyle{
\hat F(x_1,\ldots ,x_m)=(x_1,\ldots ,x_n)
} \)

Pero eso justamente se corresponde con que un fibrado tangente sea localmente trivial.

28 Agosto, 2021, 11:58 am
Respuesta #2

zimbawe

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