Autor Tema: Diferencial de un aplicación.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

27 Agosto, 2021, 02:24 am
Leído 178 veces

zimbawe

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 487
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola. Estoy teniendo problemas con un par de ejercicios y agradecería mucho si me ayudaran. Mi problema es calculando el diferencial. Tengo que mostrar que \(  U(n)=\{  A \in GL(n, \mathbb{C})|A^{*}A=Id  \}  \) es una subvariedad regular de  \(  GL(n, \mathbb{C})  \) lo que hice fue considerar  \(  F: GL(n, \mathbb{C}) \longrightarrow{Her(n}  \) las matrices hermitianas como  \(  F(A)=A^{*}A  \) aquí puedo ver que  \(  F^{-1}(Id)=U(n)  \) y por el teorema del valor regular  \(  U(n)  \) es una subvariedad regular de  \(  GL(n, \mathbb{C})  \) el problema es mostrar que  \(  Id  \) es un valor regular, porque no sé calcular el diferencial de dicha aplicación.

27 Agosto, 2021, 03:08 am
Respuesta #1

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,104
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Hola. Estoy teniendo problemas con un par de ejercicios y agradecería mucho si me ayudaran. Mi problema es calculando el diferencial. Tengo que mostrar que \(  U(n)=\{  A \in GL(n, \mathbb{C})|A^{*}A=Id  \}  \) es una subvariedad regular de  \(  GL(n, \mathbb{C})  \) lo que hice fue considerar  \(  F: GL(n, \mathbb{C}) \longrightarrow{Her(n}  \) las matrices hermitianas como  \(  F(A)=A^{*}A  \) aquí puedo ver que  \(  F^{-1}(Id)=U(n)  \) y por el teorema del valor regular  \(  U(n)  \) es una subvariedad regular de  \(  GL(n, \mathbb{C})  \) el problema es mostrar que  \(  Id  \) es un valor regular, porque no sé calcular el diferencial de dicha aplicación.


¿Sabes que \( Her(n) \) es una subvariedad regular de \( \mathbb{\mathbb{C}}^{n\times n} \)? Eso lo simplifica un poco. En cualquier caso yo consideraría la función \( F:GL(n, \mathbb{C})\to \mathbb{\mathbb{C}}^{n\times n},\, A\mapsto A^\dagger A \) que es más sencilla de tratar. Como \( GL(n,\mathbb{C}) \) es abierto en \( \mathbb{C}^{n\times n} \) entonces el diferencial es lo mismo que derivar en \( \mathbb{R}^{2n^2} \).

Ahora bien, la función \( F \) la podemos escribir como composición de una función lineal y otra bilineal, por ejemplo si definimos

\( \displaystyle{
f_1(X)=(X^\dagger ,X),\quad f_2(X,Y)=XY,\quad X,Y\in \mathbb{C}^{n\times n}\tag1
} \)

entonces \( f_1 \) es lineal (sobre \( \mathbb{R} \), no sobre \( \mathbb{C} \)) y \( f_2 \) es bilineal, y \( F(A)=(f_2\circ f_1)(A) \), por tanto

\( \displaystyle{
\partial F(A)B=(\partial f_2\circ f_1)(A)\partial f_1(A)B=\partial f_2(A^\dagger ,A)f_1(B)=\partial f_2(A^\dagger ,A)(B^\dagger ,B)=A^\dagger B+B^\dagger A\tag2
} \)

para \( B \in \mathbb{C}^{n\times n} \). Ahora queda por calcular el rango de \( \partial F(A) \) cuando \( A \) es unitaria.

27 Agosto, 2021, 03:37 am
Respuesta #2

zimbawe

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 487
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿A partir del rango puedo concluir si la identidad es un valor regular? Tampoco entiendo las últimas 3 lineas de (2). Disculpa.

27 Agosto, 2021, 04:54 am
Respuesta #3

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,104
  • País: es
  • Karma: +0/-0
¿A partir del rango puedo concluir si la identidad es un valor regular? Tampoco entiendo las últimas 3 lineas de (2). Disculpa.


En (2) lo que hago es simplemente derivar \( F \) usando la regla de la cadena y conociendo las derivadas de las funciones multilineales, \( \partial F \) es la derivada de Fréchet. Es decir, si tenemos una función \( n \)-lineal \( G: X^n\to Y \), donde \( X \) e \( Y \) son espacios de Banach, entonces la derivada en un punto es de nuevo una función \( n \)-lineal, dada por la fórmula

\( \displaystyle{
\partial G(x_1,\ldots ,x_n)(y_1,\ldots ,y_n)=\sum_{k=1}^n G(x_1,\ldots ,x_{k-1},y_k,x_{n+1},\ldots ,x_n)
} \)

Utilizando eso y la regla de la cadena sale el resultado de (2). Ahora bien, no estaba pensando en mostrar con eso que \( I \) es un valor regular de \( F \) sino más bien en mostrar que \( F \) tiene rango constante en \( F^{-1}(I) \), y de ahí utilizar un teorema que dice que todo conjunto de nivel de rango constante es una subvariedad regular. Efectivamente \( I \) no es un valor regular de la función que yo defino con codominio en \( \mathbb{C}^{n\times n} \) en vez de en el conjunto de matrices hermíticas, pero sí que \( F \) tiene rango constante en \( F^{-1}(I) \).

Si consideramos la función original entonces es ligeramente más complicado el "calcular" el diferencial ya que \( Her(n,\mathbb{C}) \) no es abierto en \( \mathbb{C}^{n\times n} \). Para conocer el diferencial de \( F \) en este caso hay que conocer que la restricción del codominio de una función suave a un nuevo codominio que es una subvariedad regular deja esencialmente igual el diferencial. Me explico: supongamos que tenemos una función suave \( g:M\to N \) y \( S\subset N \) es una subvariedad regular de \( N \) tal que \( g(M)\subset S \), entonces la función \( g|^{S}: M\to S,\, p\mapsto g(p) \) sigue siendo una función suave y su función diferencial \( d(g|^S)_p: T_pM\to T_{g(p)}S \) donde \( T_{g(p)}S \) puede identificarse con un subespacio de \( T_{g(p)}N \), es decir, que \( d(g|^S)_p\cong (dg_p)|^{T_{g(p)}S} \).

Ahora bien, como \( Her(n, \mathbb{C}) \) es una subvariedad regular de \( \mathbb{C}^{n\times n} \) entonces el diferencial de \( F:Gl(n,\mathbb{C})\to Her(n,\mathbb{C}) \) es isomorfo al mismo de antes, es decir que \( dF_AB\cong A^\dagger B+B^\dagger A \). Ahora, para comprobar que este diferencial es sobreyectivo para todo \( A \) unitaria hay que conocer la dimensión de \( Her(n, \mathbb{C}) \) y el rango de cada \( \partial F(A) \) y ver que ambos valores coinciden.

En cualquiera de los casos tienes que calcular el rango de \( \partial F(A) \), para eso te será muy útil observar que \( \partial F(A)B=0\Leftrightarrow AB^\dagger =-(AB^\dagger )^\dagger  \) y que multiplicar por \( A \), como función en \( \mathbb{C}^{n\times n} \), es biyectiva.

Corrección: hay un error en la solución que yo proponía, y es que el teorema de rango constante es local, sin embargo a priori nada nos asegura que exista un entorno de \( F^{-1}(I) \) donde el rango de \( F \) es constante. En otras palabras: no es suficiente con saber que el rango de \( F \) es constante en \( F^{-1}(I) \) sino que debe serlo en un entorno de tal subconjunto para poder aplicar el teorema del rango local.

También he corregido algunos fallos notacionales.



Añadido: otra forma de plantear lo mismo, pero que seguramente sea mucho más clara. Partimos de la función \( F: Gl(n,\mathbb{C})\to Her(n,\mathbb{C}) \) y de la inclusión trivial \( i:Her(n,\mathbb{C})\to \mathbb{C}^{n\times n},\, X\mapsto X \). Como \( Her(n, \mathbb{C}) \) es una subvariedad regular de \( \mathbb{C}^{n\times n} \) entonces la función \( i\circ F \) es suave, y como es una función entre subconjuntos abiertos de espacios euclídeos el diferencial es la derivada estándar, es decir que

\( \displaystyle{
d(i\circ F)_AB=A^\dagger B+B^\dagger A,\quad \text{ para }\quad B\in T_{F(A)}\mathbb{C}^{n\times n}\cong \mathbb{C}^{n\times n}
} \)

Y de la regla de la cadena de diferenciales tenemos también que

\( \displaystyle{
d(i\circ F)_A=di_{F(A)} \circ dF_A
} \)

Como \( di_Y:T_Y Her(n,\mathbb{C})\to T_Y \mathbb{C}^{n\times n}\cong \mathbb{C}^{n\times n} \) es una función lineal inyectiva (al ser \( i \) una inmersión) se puede considerar a \( T_YHer(n,\mathbb{C}) \) como un subespacio de \( \mathbb{C}^{n\times n} \), y por tanto \( d F_AB=A^\dagger B+B^\dagger A \).

27 Agosto, 2021, 11:52 am
Respuesta #4

zimbawe

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 487
  • País: co
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Mil gracias. Todo clarísimo.

27 Agosto, 2021, 02:25 pm
Respuesta #5

Masacroso

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,104
  • País: es
  • Karma: +0/-0
Mil gracias. Todo clarísimo.

Al final resulta que el teorema de rango constante sí podía utilizarse, ya que la función que yo proponía de \( F: GL(n,\mathbb{C})\to \mathbb{C}^{n\times n},\, X\mapsto X^\dagger X \) tiene rango constante en todo su dominio.

Tampoco observé que el hecho de que \( Her(n,\mathbb{C}) \) es una subvariedad regular de \( \mathbb{C}^{n\times n} \) es una trivialidad ya que \( Her(n, \mathbb{C}) \) es un subespacio vectorial de \( \mathbb{C}^{n\times n} \).