Autor Tema: Ejercicio sobre función diferenciable

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25 Agosto, 2021, 01:09 pm
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Danbtwski

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Buenos días.

Me proponen el siguiente ejercicio:

Sea \( M \) una variedad, \( X \) un campo vectorial en \( M \) y \( f:M\longrightarrow\mathbb{R} \) una función diferenciable. Demostrar que si en un punto \( a\in{M} \) se tiene \( d_af=0 \) y \( X_a=0 \), entonces \( d_a(Xf)=0 \).

Es claro que si \( X \) es tangente en el punto \( a \) a la superficie definida por \( f \) se tiene que \( X_af=0 \) y por tanto \( d_a(Xf)=0 \), pero ¿cómo se demuestra en general para todo \( a \)?

Gracias.

25 Agosto, 2021, 02:30 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Una manera es tomando coordenadas locales y haciendo el cálculo. Toma coordenadas centradas en \[ a \], de manera que \[ X = \sum_{i=1}^n a_i \partial_i \] con los \[ a_i:\Bbb R^n \to \Bbb R \] que cumplen \[ a_i(0)=0 \]. Por otro lado, de \[ d_a f = 0 \] se deduce que \[ \partial_i f \mid_a = 0 \] para todo \[ i \].

Ahora ya debería ser un cálculo rutinario: calculas \[ d_a(Xf) \] en coordenadas y compruebas que da cero.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)