Autor Tema: Propuesta de UTF3 por descenso. Versión I

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25 Julio, 2021, 04:53 pm
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Fernando Moreno

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Hola,  voy a intentar este caso por descenso.  Realmente lo hice ya.  Voy a retomar esta idea para el caso del UTF3 de noviembre de 2019 aquí en este Foro, haciendo las modificaciones oportunas.     

Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( \pmb{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0} \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  coprimos.  Esto último es posible porque  \( \mathbb{Z}(\omega) \)  es un dominio de factorización única.   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  \( a+b\omega \) ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ,  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) ;  lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a una de las variables; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y- en realidad es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  como mínimo,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  como mínimo,  también lo divide (1).

Por otra parte,  conocemos que  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 2 \)  -y- que  \( 2 \)  es primo en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Supongamos que  \( 2 \)  no divide á  \( a+b\omega \) .  Como  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3\,=\,a^3+b^3+3ab\omega(a+b\omega) \) .  Módulo  \( 2 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos pares;  en consecuencia  \( (a+b\omega)^3 \)  será congruente con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  Ó que los dos,  \( a,b \) ,  sean impares; pero entonces  \( (a+b\omega)^3\equiv{2+3\omega(1+\omega)}\equiv{2+3\omega+3\omega^2}=-1\equiv{1} \) .  En definitiva,  en los dos casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod \( 2 \) .  Y entonces tampoco podrá darse  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\equiv{0} \) mod \( 2 \) ,  para  \( \alpha \)  ó  \( \beta \)  ó  \( \gamma \)  negativos.  Por lo que concluiremos que una de las variables será congruente con  \( 0 \) ,  porque no pueden ser pares más que una,  al ser éstas coprimas entre sí,  y que las otras dos serán congruentes con  \( 1 \)  módulo \( 2 \) ,  positivas o negativas ambas,  o una positiva y otra negativa (2)

Además de todo esto,  como también  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \)  -y- que cuando es solamente múltiplo de  \( 2 \)  -y- no a la vez de  \( 3 \) ,  es congruente sólo con  \( 2 \)  ó  \( 4 \) .  Entonces,  sin perder generalidad,  si  \( 2 \)  divide a una variable  \( (\alpha) \)  -y-  \( 3 \)  divide a otra  \( (\gamma) \) ,  tendremos que  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \)  \( \Rightarrow \)  \( 4+5+3\equiv{0} \) mod \( 6 \)  ó que  \( 2+1+3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Por lo que:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) .  Pero como hemos visto en (1) y (2),  que  \( -\alpha^3 \)  -y-  \( (\beta+\gamma)^3 \)  al ser cubos,  son congruentes con un entero módulo  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) ,  también lo será a la fuerza  \( \beta\gamma(\beta+\gamma) \)  congruente con un entero módulo  \( 2 \)  -y-  \( 3 \)  -y- por lo tanto  \( 6 \) .  Y como también conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .   En el primer caso,  tendremos que:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 2\equiv{(\beta+\gamma)^3-3} \)  -y-  \( (\beta+\gamma)^3\equiv{5} \) .  Pero  \( (\beta+\gamma)^3\equiv{\beta+\gamma}\equiv{5+\gamma} \) ,  puesto que  \( \beta^3\equiv{\beta} \) mod \( 6 \)  -y-  \( 5 \)  es primo en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Ahora bien,  partimos por definición que  \( \gamma\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ;  luego la congruencia no es posible.  Y en el segundo caso,  tendremos:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( 4\equiv{(\beta+\gamma)^3-3} \)  -y-  \( (\beta+\gamma)^3\equiv{1}=(+\epsilon)^3 \) .  Pero  \( (\beta+\gamma)^3\equiv{\beta+\gamma}\equiv{(+\epsilon)^3+\gamma} \) .  Y como  \( \gamma\not\equiv{0} \) mod \( 6 \) ,  la congruencia tampoco puede resolverse.  Luego la premisa es falsa y la ecuación de la que partimos sólo es posible si una de las variables es múltiplo a la vez de  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) .  De esta manera  \( 2^l \) ,  como mínimo,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  debe dividir a la variable que es múltiplo de  \( 3 \) ;  que hemos quedado en (1) que es  \( \gamma \) .     

En conclusión,  tenemos que  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3 \) .  Y como  \( \alpha+\beta=2\sigma \) ,  para  \( \sigma \)  un entero de Eisenstein.  Puesto que como se deduce de  (2) :  \( \alpha^3\equiv{\beta^3} \) mod \( 2 \)  -y- por tanto  \( \alpha^3-\beta^3\equiv(\alpha-\beta)((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta)\equiv{0} \) mod \( 2 \) ,  donde para  \( \alpha-\beta=x+y\omega \)  sólo puede ser éste congruente módulo  \( 2 \)  con:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  ,  \( 0 \)  -y- sustituyendo en la última equivalencia,  se ve que sólo puede ser  \( 0 \) .  Entonces  \( \alpha\equiv{\beta} \) mod \( 2 \)  -y- de la misma manera,  por tanto, tendremos que:  \( \alpha-\beta=2\tau \) ,  para  \( \tau \)  un entero de Eisenstein.   

A partir de estas 2 ecuaciones:  \( \alpha+\beta=2\sigma \)  -y-  \( \alpha-\beta=2\tau \) ;  despejando  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \) ,  tendremos:  \( \alpha=\sigma+\tau \)  -y-  \( \beta=\sigma-\tau \) .  Luego  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=(\sigma+\tau)^3+(\sigma-\tau)^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Si ahora divido entre  \( 3^{3k} \) ;  como  \( 3^{3k-1} \)  dividirá á  \( \sigma \) ,  obtendré que:  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ,  para  \( \sigma'=\sigma/3^{3k-1} \) .  De esta manera,  ahora  \( 2\sigma' \)  -y-  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \)  serán coprimos y terceras potencias en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  por ser coprimos  \( \sigma' \)  -y-  \( \tau \) ;  el primero par y el segundo impar.         

Como  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2=(3^{3k-3/2}\sigma'+\tau i)(3^{3k-3/2}\sigma'-\tau i) \)  -y-  \( 3k-3/2=3k-2+1/2 \) .  Lo de antes es lo mismo que:  \( (3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'-\tau i) \) .  Y como sabemos que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \sqrt{3}=i\omega\lambda \) ,  entonces tendré que  \( (3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'-\tau i) \)  -y- :  \( -(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir,  tres cubos -contando  \( (-1) \)-  ,  ya que ahora  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  -y-  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  serán coprimos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ;  pues de su suma y su diferencia se deduce que el único factor común que tienen es  \( 2 \) ,  que no divide á  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \) .       

Y ahora basta con hacer  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=2\sigma'3^{3k-2}\lambda\omega \) .  Pero:  \( 3^{3k-2}=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4} \)  \( \Rightarrow \)  \( 3^{3k-2}\lambda\omega=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4}\lambda\omega\,=\,(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Luego  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3} \) (3)  -y- me encuentro ante una suma de  \( 3 \) posibles cubos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) :  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)-(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) ,  para  \( \epsilon_{1,2,3} \)  unidades -y- :  \( \alpha'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  ;  \( \beta'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  ;  \( \gamma''\,^3=2\sigma' \) .   

Además,  como teníamos  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ;  entonces, ahora:  \( -2^{3q}\gamma`^3=-2\sigma'(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir :  \( 2^{3q}\gamma`^3=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3\alpha'\,^3\beta'\,^3\gamma''\,^3 \) .  Luego  \( \epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\epsilon^3 \) ,  puesto que el producto de unidades es otra unidad.  Y  \( \epsilon^3 \) ,  sea cual sea  \( \epsilon \) ,  es igual á  \( \pm\,1 \) (4)

Por otra parte,  nos encontramos también con esta congruencia -ver (3)- :  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)\equiv{(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega)^{6k-3}} \) mod \( 2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3\equiv{0} \) mod \( 2 \) .  Y como  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod \( 2 \)  si  \( 2 \)  no lo divide -ver (2)- ;  entonces tendremos que  \( \epsilon_1+\epsilon_2\equiv{0} \) mod \( 2 \) .  Y solamente la suma o la resta de 2 unidades que son iguales nos puede dar cero en esta congruencia:  \( 1+1\,,\,\omega+\omega\,,\,-\omega^2-\omega^2\,,\,1-1\,,\,\omega-\omega\,,\,\,.\,.\,.\, \)  Luego concluimos que ambas unidades son las mismas.   

Nos situamos ahora con lo que tenemos:  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_1\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  -si consideramos que  \( \epsilon_2=\epsilon_1 \)- .  Si multiplico ahora por  \( \epsilon_1^2 \) ,  será:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3-\epsilon_1^2\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) .  Pero  \( \epsilon_1^2\epsilon_3 \)  es el equivalente a lo que sucede en (4).  Por tanto:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pmb{\alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma'''\,^3=0} \) ,  para  \( \alpha''\,^3=\epsilon_1^3\alpha'\,^3 \)  ;  \( \beta''\,^3=\epsilon_1^3\beta'\,^3 \)  -y-  \( \gamma'''\,^3=\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Consumando así un descenso infinito,  pues ahora sólo  \( \lambda^{6k-3} \)  divide á  \( \gamma'''\,^3 \)  cuando antes era  \( \lambda^{6k} \)  el que dividía á  \( \gamma^3 \) (1) .           


Un saludo,


Editado 
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31 Julio, 2021, 12:05 pm
Respuesta #1

Fernando Moreno

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Hola Luis. Disculpa si estás de vacaciones. ¿Te dió lugar de echar un vistazo a la Propuesta? ¿La ves bien? Un saludo
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01 Agosto, 2021, 07:22 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Hola Luis. Disculpa si estás de vacaciones. ¿Te dió lugar de echar un vistazo a la Propuesta? ¿La ves bien? Un saludo

Si, estoy de vacaciones. Cuando tenga tiempo le echo un ojo. Pero quizá tarde...

Saludos.

05 Septiembre, 2021, 03:55 pm
Respuesta #3

Fernando Moreno

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Hola Luis,

Si, estoy de vacaciones. Cuando tenga tiempo le echo un ojo. Pero quizá tarde...

Saludos.

Ha pasado un mes, ¿te dió lugar a echarle un vistazo? Un saludo
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06 Septiembre, 2021, 10:35 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

Ha pasado un mes, ¿te dió lugar a echarle un vistazo? Un saludo

No.

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 12:52 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 He empezado a mirar algo.

 Sería más cómodo que a la hora de redactarla, primero enunciases que vas a probar en cada caso y luego la demostración. Así uno puede leer primero la idea general, si fijarse en los detalles de la demostración. Y luego ir detallando según interese. Por ejemplo algo así:

1) Voy a probar que \( 3^3 \) divide a \( \alpha,\beta \) o \( \gamma \). Supondremos que es \( \gamma \) sin pérdida de generalidad.

Demostración
Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  \( a+b\omega \) ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ,  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) ;  lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a una de las variables; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y- en realidad es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  como mínimo,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  como mínimo,  también lo divide (1).
[cerrar]

 Eso facilitaría la lectura.

 Bien. Por otra parte entiendo que en todo momento trabajas con enteros de Eisenstein. Entonces aquí dices...

Citar
Además de todo esto,  como también  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \) 

Pero \( 3w \) es múltiplo de \( 3 \), no es múltiplo de \( 2 \), pero \( 3w \) no es congruente con \( 3 \) mód \( 6 \).

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 02:09 pm
Respuesta #6

Fernando Moreno

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Hola Luis, gracias por la lectura.

Bien. Por otra parte entiendo que en todo momento trabajas con enteros de Eisenstein. Entonces aquí dices...

Citar
Además de todo esto,  como también  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Y por inspección comprobamos que módulo  \( 6 \)  todo número que es múltiplo de  \( 3 \)  -y- no a la vez de  \( 2 \) ,  es congruente siempre con  \( 3 \) 

Pero \( 3w \) es múltiplo de \( 3 \), no es múltiplo de \( 2 \), pero \( 3w \) no es congruente con \( 3 \) mód \( 6 \).

Saludos.

Cierto. Estoy trabajando en otra versión de esta demostración, en \( \mathbb{Z}(\omega) \) , pero donde utilizo enteros usuales también. Es un error por mi parte utilizar sólo enteros de Eisenstein estrictos, cuando los enteros usuales son también enteros de Eisenstein. Si quieres espera a que la acabe, sólo serán unos días. Procuraré también facilitar la lectura como dices estableciendo Lemas, disculpa. Un saludo
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17 Septiembre, 2021, 09:49 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Cierto. Estoy trabajando en otra versión de esta demostración, en \( \mathbb{Z}(\omega) \) , pero donde utilizo enteros usuales también. Es un error por mi parte utilizar sólo enteros de Eisenstein estrictos, cuando los enteros usuales son también enteros de Eisenstein. Si quieres espera a que la acabe, sólo serán unos días.

Bien, espero. En lo que has escrito no he leído más, porque ya he encontrado la objección que he indicado.

Ojo si mezclas enteros de Eisenstein y usuales, con las propiedades que funcionan para unos pero no para otros y viceversa.

Citar
Procuraré también facilitar la lectura como dices estableciendo Lemas, disculpa. Un saludo

Si; no hace falta que sean Lemas. Me refiero sobre todo a marcar los pasos que configuran las idea de la demostración; separando luego el detalle de cada paso.

Saludos.

24 Septiembre, 2021, 11:51 am
Respuesta #8

Fernando Moreno

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Hola,  hago la corrección a esta versión de la demostración.  Reconozco que la redacción en conjunto es un poco densa.  Disculpas por ello.


Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  para  \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \)  -la raíz primitiva tercera de la unidad-; la siguiente ecuación:  \( \pmb{\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0} \) ,  para  \( \alpha,\beta,\gamma \)  coprimos.
 
Demostraré que existe otra suma de cubos (igual a cero) en la que  \( \lambda \)  divide menos veces al cubo que es múltiplo de  \( 3 \) ,  pudiendo repetir este procedimiento sin fin.  Para ello sólo necesitaré  \( 3 \) Lemas. 

Lema I: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3^{3k} \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( \pm 1 \)  módulo  \( 9 \) .   

Conocemos que  \( 3=-\omega^2(\omega-1)^2 \) ,  para  \( \lambda=\omega-1 \)  primo y que las unidades de este anillo son:  \( \pm\,1\,,\,\pm\,\omega \)  -y-  \( \pm\,\omega^2 \) ,  para  \( \omega^3=1 \) .  Como  \( \alpha \) ,  por ejemplo,  es de la forma  \( a+b\omega \)  -y-  \( \omega\equiv{1} \) mod \( \lambda \) ,  entonces  \( a+b\omega\equiv{a+b} \) mod \( \lambda \) .  Luego si  \( \lambda \)  no divide á  [/tex]a+b\omega[/tex] ,  no divide á  \( a+b \) .  Supongamos que  \( \lambda \)  no divide á  \( \alpha\beta\gamma \) ;  entonces  \( 3 \)  -y-  \( 9 \)  no los dividirán.  Como  \( \alpha^3,\beta^3,\gamma^3 \)  son de la forma:  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3 \)  .  Módulo  \( 9 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos múltiplo de  \( 3 \)  ó  que  \( a\equiv{b} \) mod \( 3 \) ;  puesto que si  \( a\equiv{-b} \) mod \( 3 \) ,  entonces  \( 3 \)  dividiría á  \( a+b \)  -y- también  \( \lambda \) .  En la primera de las situaciones es obvio que  \( (a+b\omega)^3 \)  es congruente módulo  \( 9 \)  con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  En la segunda situación,  tendríamos que  \( (a+b\omega)^3\equiv{b^3+3b^3\omega+3b^3\omega^2+b^3\omega^3}\equiv{2b^3-3b^3}\equiv{-b^3} \) .  Luego en todos los casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{\pm 1} \) mod \( 9 \) .  De esta manera:  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) .  Lo que no puede ser,  por lo que  \( 9 \) ,  como mínimo -y-  \( \lambda^4 \) ,  puesto que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \) ,  dividirán a uno de los cubos; pongamos que á  \( \gamma^3 \) .  Pero si  \( \lambda^4\mid\gamma^3 \) ,  entonces  \( \lambda^2\mid\gamma \)  -y-,  en realidad,  es  \( \lambda^6\mid\gamma^3 \) .  Nos quedamos entonces con que  \( \lambda^{6k} \)  divide,  para  \( k\in{\mathbb{N}} \) ,   á  \( \gamma^3 \)  -y-  como  \( 27=-\lambda^6 \) ;  que  \( 3^{3k} \) ,  también lo divide.   

Lema II: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces como mínimo,  \( 2 \)  divide a uno de los cubos y los otros dos serán congruentes con  \( 1 \)  módulo  \( 2 \) .     

Conocemos que  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 2 \)  -y- que  \( 2 \)  es primo en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Supongamos que  \( 2 \)  no divide á  \( a+b\omega \) .  Como  \( (a+b\omega)^3=a^3+3a^2b\omega+3ab^2\omega^2+b^3\omega^3\,=\,a^3+b^3+3ab\omega(a+b\omega) \) .  Módulo  \( 2 \) ,  podemos encontrarnos con estas dos situaciones: Que  \( a \)  ó  \( b \)  sean uno de ellos pares;  en consecuencia  \( (a+b\omega)^3 \)  será congruente con  \( b^3 \)  ó  \( a^3 \) ,  según sea el caso.  Ó que los dos,  \( a,b \) ,  sean impares; pero entonces  \( (a+b\omega)^3\equiv{1+3\omega+3\omega^2+1}=-1\equiv{1} \) .  En definitiva,  en los dos casos  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod [/tex]2[/tex] .  Y entonces tampoco podrá darse  \( \pm 1\,\pm 1\,\pm 1\equiv{0} \) mod \( 2 \) ,  para  \( \alpha \)  ó  \( \beta \)  ó  \( \gamma \)  negativos.  Por lo que concluiremos que uno de los cubos será congruente con  \( 0 \) ,  porque no pueden ser pares más que uno,  al ser éstos coprimos entre sí,  y que los otros dos serán congruentes con  \( 1 \)  módulo \( 2 \) ,  positivos o negativos ambos,  o uno positivo y otro negativo.   

Lema III: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  divide al cubo que es par.   

Como  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Establezcamos,  sin perder generalidad,  basándonos en los Lemas I y II,  que \( 2 \)  divide a una variable  \( (\alpha) \)  -y-  \( 3 \)  divide a otra  \( (\gamma) \) .  Por una parte tenemos que:  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \)  -y-  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma) \) .  Y por otra conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .  Entonces la anterior ecuación puede transformarse de la siguiente manera:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)-3\beta\gamma(\beta+\gamma)}=(\beta+\gamma)(1-3\beta\gamma) \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta^3+\gamma^3)(1-3\beta^3\gamma^3)} \) .  Pero partimos de  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Luego  \( \alpha^3\equiv{-(\beta^3+\gamma^3)} \) .  Y esto significa en la penúltima ecuación que  \( 1-3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser congruente con  \( 1 \)  módulo  \( 6 \) .  Pero entonces  \( 3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser múltiplo de  \( 6 \)  -y-  \( 2 \)  dividir á  \( \beta^3 \)  ó  \( \gamma^3 \) ,  lo que es una contradicción.  Luego la premisa es falsa y la ecuación de la que partimos sólo es posible si uno de los cubos es múltiplo a la vez de  \( 2 \)  -y-  \( 3 \) .  De esta manera  \( 2^l \) ,  para  \( l\in{\mathbb{N}} \) ,  debe dividir también a  \( \gamma \) ,  tal y como hemos quedado en el Lema I.             

En conclusión,  tenemos que  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=\alpha^3+\beta^3 \) .  Y como  \( \alpha+\beta=2\sigma \) ,  para  \( \sigma \)  un entero de Eisenstein.  Puesto que como se deduce del Lema II:  \( \alpha^3\equiv{\beta^3} \) mod \( 2 \)  -y- por tanto  \( \alpha^3-\beta^3\equiv(\alpha-\beta)((\alpha-\beta)^2+3\alpha\beta)\equiv{0} \) mod \( 2 \) ;  donde para  \( \alpha-\beta=x+y\omega \)  sólo puede ser éste congruente módulo  \( 2 \)  con:  \( 1+\omega \)  ,  \( 1 \)  ,  \( \omega \)  ,  \( 0 \) .  Y si hacemos las correspondientes sustituciones:  \( (1+\omega)((1+\omega)^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (1)(1+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \)  ,   \( (\omega)(\omega^2+3\alpha\beta)\not\equiv{0} \) ;  sólo puede ser  \( \alpha-\beta\equiv{0} \) .  Entonces  \( \alpha\equiv{\beta} \) mod \( 2 \) .  Y por el mismo procedimiento, obtendremos que  \( \alpha-\beta=2\tau \) ,  para  \( \tau \)  un entero de Eisenstein.   

A partir de estas 2 ecuaciones:  \( \alpha+\beta=2\sigma \)  -y-  \( \alpha-\beta=2\tau \) ;  despejando  \( \alpha \)  -y-  \( \beta \) ,  tendremos:  \( \alpha=\sigma+\tau \)  -y-  \( \beta=\sigma-\tau \) .  Luego  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=(\sigma+\tau)^3+(\sigma-\tau)^3 \)  \( \Rightarrow \)  \( -2^{3l}3^{3k}\gamma`\,^3=2\sigma(\sigma^2+3\tau^2) \) .  Si ahora divido entre  \( 3^{3k} \) ;  como  \( 3^{3k-1} \)  dividirá á  \( \sigma \) ,  obtendré que:  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ,  para  \( \sigma'=\sigma/3^{3k-1} \) .  De esta manera,  ahora  \( 2\sigma' \)  -y-  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \)  serán coprimos y terceras potencias en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ,  por ser coprimos  \( \sigma' \)  -y-  \( \tau \) ;  el primero par y el segundo impar.         

Como  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2=(3^{3k-3/2}\sigma'+\tau i)(3^{3k-3/2}\sigma'-\tau i) \)  -y-  \( 3k-3/2=3k-2+1/2 \) .  Lo de antes es lo mismo que:  \( (3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\sqrt{3}\sigma'-\tau i) \) .  Y como sabemos que  \( 3=-\omega^2\lambda^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \sqrt{3}=i\omega\lambda \) ,  entonces tendré que  \( (3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'+\tau i)(3^{3k-2}\omega\lambda i\sigma'-\tau i) \)  -y- :  \( -(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir,  tres cubos -contando  \( (-1) \)-  ,  ya que ahora  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  -y-  \( 3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  serán coprimos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) ;  pues de su suma y su diferencia:  \( 2\cdot 3^{3k-2}\lambda\sigma' \)  -y-  \( 2\tau \) ,  respectivamente, se deduce que el único factor común que tienen es  \( 2 \) ,  que es precisamente el que no divide á  \( 3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2 \) .       

Y ahora basta con hacer  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=2\sigma'3^{3k-2}\lambda\omega \) .  Pero:  \( 3^{3k-2}=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4} \)  \( \Rightarrow \)  \( 3^{3k-2}\lambda\omega=(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-4}\lambda\omega\,=\,(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Luego  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)=(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3} \) (1)  -y- ya me encuentro ante una suma de  \( 3 \) posibles cubos en  \( \mathbb{Z}(\omega) \) .  Esto es:  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)-(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) ,  para  \( \epsilon_{1,2,3} \)  unidades -y- :  \( \alpha'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau \)  ;  \( \beta'\,^3=3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau \)  ;  \( \gamma''\,^3=2\sigma' \) .   

Además,  como teníamos  \( -2^{3q}\gamma`^3=2\sigma'(3^{6k-3}\sigma'\,^2+\tau^2) \) ;  entonces, ahora:  \( -2^{3q}\gamma`^3=-2\sigma'(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau) \) .  Es decir :  \( 2^{3q}\gamma`^3=\epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3\alpha'\,^3\beta'\,^3\gamma''\,^3 \) .  Luego  \( \epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=\epsilon^3 \) ,  puesto que el producto de unidades es otra unidad.  Y  \( \epsilon^3 \) ,  sea cual sea  \( \epsilon \) ,  es igual á  \( \pm\,1 \) (2) .   

Por otra parte,  nos encontramos también con esta congruencia -ver (1)- :  \( (3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'+\tau)+(3^{3k-2}\omega\lambda\sigma'-\tau)\equiv{(-1)^{3k-2}2\sigma'(\omega)^{6k-3}} \) mod \( 2 \)  \( \Rightarrow \)  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_2\beta'\,^3\equiv{0} \) mod \( 2 \) .  Y como  \( (a+b\omega)^3\equiv{1} \) mod \( 2 \)  si  \( 2 \)  no lo divide -Lema II- ;  entonces tendremos que  \( \epsilon_1+\epsilon_2\equiv{0} \) mod \( 2 \)  -y- solamente la suma o la resta de 2 unidades que son iguales nos puede dar cero en esta congruencia:  \( 1+1\,,\,\omega+\omega\,,\,-\omega^2-\omega^2\,,\,1-1\,,\,\omega-\omega\,,\,\,.\,.\,.\, \)  Luego concluimos que ambas unidades son las mismas.   

Nos situamos ahora con lo que tenemos:  \( \epsilon_1\alpha'\,^3+\epsilon_1\beta'\,^3-\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  -si consideramos que  \( \epsilon_2=\epsilon_1 \)- .  Si multiplico ahora por  \( \epsilon_1^2 \) ,  será:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3-\epsilon_1^2\epsilon_3\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \) .  Pero  \( \epsilon_1^2\epsilon_3 \)  es el equivalente a lo que sucede en (2).  Por tanto:  \( \epsilon_1^3\alpha'\,^3+\epsilon_1^3\beta'\,^3\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3}=0 \)  \( \Rightarrow \)  \( \pmb{\alpha''\,^3+\beta''\,^3+\gamma'''\,^3=0} \) ,  para  \( \alpha''\,^3=\epsilon_1^3\alpha'\,^3 \)  ;  \( \beta''\,^3=\epsilon_1^3\beta'\,^3 \)  -y-  \( \gamma'''\,^3=\mp\,\gamma''\,^3(-1)^{3k-2}(\omega\lambda)^{6k-3} \) .  Consumando así un descenso infinito,  pues ahora sólo  \( \lambda^{6k-3} \)  divide á  \( \gamma'''\,^3 \)  cuando antes era  \( \lambda^{6k} \)  el que dividía á  \( \gamma^3 \) (Lema I) .           


Un saludo, 
An expert is a man who has made all the mistakes, which can be made, in a very narrow field. Niels Bohr

24 Septiembre, 2021, 12:00 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Hola

Lema III: Si  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) ,  entonces  \( 3 \)  divide al cubo que es par.   

Como  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Establezcamos,  sin perder generalidad,  basándonos en los Lemas I y II,  que \( 2 \)  divide a una variable  \( (\alpha) \)  -y-  \( 3 \)  divide a otra  \( (\gamma) \) .  Por una parte tenemos que:  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \)  -y-  \( -\alpha^3=(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma) \) .  Y por otra conocemos que módulo  \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( r^3\equiv{r} \)  para cualquiera de sus restos  \( (r) \) .  Entonces la anterior ecuación puede transformarse de la siguiente manera:  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)^3-3\beta\gamma(\beta+\gamma)} \) mod \( 6 \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta+\gamma)-3\beta\gamma(\beta+\gamma)}=(\beta+\gamma)(1-3\beta\gamma) \)  \( \Rightarrow \)  \( -\alpha^3\equiv{(\beta^3+\gamma^3)(1-3\beta^3\gamma^3)} \) .  Pero partimos de  \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv{0} \) mod \( 6 \) .  Luego  \( \alpha^3\equiv{-(\beta^3+\gamma^3)} \) .  Y esto significa en la penúltima ecuación que  \( 1-3\beta^3\gamma^3 \)  debe ser congruente con  \( 1 \)  módulo  \( 6 \) .

La afirmación en rojo no es cierta en general. No es cierto en general que:

\( x\cdot y\equiv x  \mod 6 \quad \Rightarrow{}\quad y\equiv 1\ \mod 6 \)

Para poder afirma eso necesitas que \( x \) y \( 6 \) sean coprimos.

Por ejemplo \( 2\cdot 4\equiv 2 \) mod \( 6 \).

Saludos.