Autor Tema: ¿Existe regularidad en los números primos?

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29 Junio, 2021, 08:10 pm
Respuesta #10

feriva

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En ese sentido, Feriva, dices:
“Todos los múltiplos de 2, que es primo, están a la misma distancia, todos los múltiplos de 3, que también lo es, están a la misma distancia... pero no todos los múltiplos 2 están a la misma distancia que los de 3. Si son múltiplos de ambos, entonces sí, porque en ese caso son los múltiplos de 6, que es un mismo número, pero si tomamos 6 y 9... ambos nos son múltiplos de 6... Total, que “mezclando” ya no vamos a tener esa regularidad a la que te refieres; sin necesidad que sean primos necesariamente.
Como ningún primo es múltiplo de otro primo ni tiene ningún factor en común con otro primo (son todos coprimos, que se dice) pues, al considerar la sucesión de los números naturales, los primos quedan especialmente “descolocados” y nunca termina de formar un “periodo” de distancias que se repitan, nunca.”


No sé si he entendido bien el argumento, pero creo que apuntas en esa dirección. La explicación que expones ¿está formalizada en el enunciado de algún teorema existente?

Hola.

No sé si está demostrado, pero creo que lo puedo demostrar; a ver si te convence.

Empiezo con un ejemplo y después generalizo:

Consideremos el factorial de 5.

\( 5!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5=120
  \).

Por tanto, 5 factorial es múltiplo de 2,3,4 y 5 (y no es primo, claro).

Entonces \( 5!+2
  \), no es primo, porque los dos sumandos son múltiplos de 2, divisibles entre 2; es un par.

Análogamente, si consideramos \( 5!+3
  \), los dos sumandos son múltiplos de 3 y por tanto la suma es divisible entre 3 y mayor que 3, no es primo...

Y así podemos hacer lo mismo sumando 4 y 5, encontraremos que la suma es divisible entre esos números, lo cual conlleva que encontremos cuatro números no primos consecutivos; éstos:

\( (120+2);(120+3);(120,+4);(120+5)
  \) es decir, 122,123,124,125.

Como podemos tomar un número natural tan grande como queramos, sin límite, podremos elegir una cantidad de números no primos, y consecutivos todos ellos, tan grande como queramos. Es decir, considerando cualquier “n”, en general se tiene \( (n!+2),(n!+3)...(n!+n)
  \)

Luego si considerásemos que las distancias de los primos fueran 1,2,2,2,4,2,4,2...k llegando a cierto "k" y que esto se repitiera siempre, es absurdo, pues k es un número finito y podemos elegir mediante el factorial, una distancia mayor que k; existe (mayor que k y cualquiera de los números que aparecen en el periodo, 1,2,4... etc.) luego eso ya rompe el periodo de distancias.


En cuanto a la infinitud de los primos, que también preguntabas por ahí, es muy fácil de demostrar igualmente usando el factorial; más fácil que esto quizá, si buscas en internet por "demostración de los números primos de Euclides" seguro que la encuentras hasta en vídeo.

Saludos.

29 Junio, 2021, 09:40 pm
Respuesta #11

Carlos Ivorra

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Tomando como ejemplo el último gráfico de tu mensaje, Carlos Ivorra, las irregularidades de la línea azul, llegados a un cierto número, quizá altísimo, podrían repetirse periódicamente. O al menos supongo que no podríamos asegurar que eso no ocurra, a partir de la observación.
Se reduce todo entonces a una única pregunta: ¿existe una explicación causal lógica, que permita afirmar que esa iteración de tramos no se dará nunca?

[...]

Aunque la irregularidad en tramos dados es observable, ¿puede demostrarse que el conjunto completo no estará constituido por una iteración periódica de tramos irregulares?

No sé si entiendo la pregunta. Lo que puede demostrarse es que la "línea azul" puede tener localmente altibajos en cuanto a su pendiente, que puede ser a veces más pronunciada y a veces menos, pero que "vista desde lejos", siempre va a seguir muy de cerca a cualquiera de las otras funciones "regulares". Más concretamente, si quieres calcular aproximadamente el número \( \pi(x) \) de primos menores o iguales que \( x \) y lo aproximas, digamos, por \( LI(x) \), la aproximación no coincidirá. El error absoluto

\( |\pi(x)-LI(x)| \)

puede ser grande, pero el error relativo será más pequeño cuanto mayor sea \( x \), es decir,

\( \dfrac{\pi(x)-LI(x)}{\pi(x)} \)

será cada vez más pequeño. Por ejemplo,

\( \pi(1\,000\,000)=78498 \), \( LI(1\,000\,000)=78626.5 \),

el error absoluto es de \( 128.5 \), es decir, nos hemos equivocado en \( 128 \) primos, y en términos relativos el error es de un

\( \dfrac{128.5}{78498}\cdot 100=0.16\% \).

Para \( 1\,000\,000\,000 \) el error absoluto es de \( 1699 \) primos (el error absoluto se hace cada vez más grande), pero el error relativo es de

\( \dfrac{1699}{50\,847\,534}\cdot 100=0.0033\% \).

Sobre la descripción de las irregularidades locales de \( \pi(x) \) no se sabe mucho, que yo sepa. Se saben cosas, como que no es cierto en general que la línea verde esté siempre por encima de la azul, sino que se alternan infinitas veces.

30 Junio, 2021, 01:12 pm
Respuesta #12

minette

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Hola

Perdóname TEG que insista.

Debes leer el libro "La música de los número primos" sobre todo las páginas 172, 173 y 174.

Contestas a Feriva, a C.Enrique B, a minette ni le das las gracias por su sugerencia.

Sí debes ir a

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primos

tal como Carlos Ivorra te sugiere

Saludos.



30 Junio, 2021, 01:26 pm
Respuesta #13

feriva

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Hola

Perdóname TEG que insista.

Debes leer el libro "La música de los número primos" sobre todo las páginas 172, 173 y 174.

Contestas a Feriva, a C.Enrique B, a minette ni le das las gracias por su sugerencia.

Sí debes ir a

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primos

tal como Carlos Ivorra te sugiere

Saludos.

Hola, minette.

También existe el documental, para quien quiera verlo; está en Youtube en tres vídeos; pongo el primero


Saludos.


30 Junio, 2021, 08:12 pm
Respuesta #14

TEG

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Hola de nuevo, y gracias de nuevo a todos.

Minette, dices: “Contestas a Feriva, a C.Enrique B, a minette ni le das las gracias por su sugerencia.”

Cuando decía al principio de mi último mensaje: “Ante todo, muchísimas gracias y enhorabuena al foro por la actividad”, y al final: “Reitero mi agradecimiento por los interesantes aportes…”, me refería a todos. De hecho, comencé a redactar un mensaje respondiendo uno a uno a todos los comentarios, pero me di cuenta de que muchas respuestas serían repetitivas, y visto que ya podía reducir todo el tema a una única pregunta (la demostración de irregularidad), preferí ser lo más breve posible. Y es que al no tener yo ni idea de matemáticas, tengo un poco la sensación de estar molestando, y preferí ir al grano para acabar cuanto antes. No son mi fuerte las habilidades sociales, y te pido disculpas si he herido tu sensibilidad.
Fíjate que he comprendido lo que es un factorial, por el contexto del mensaje de feriva, y el mensaje de Carlos Ivorra queda ya muy fuera de mi alcance.
Por el mismo motivo (la brevedad) he evitado hablar de la motivación que me trae a plantear este tema, mi opinión personal y otras cosas.
Respecto a “La música de los números primos”, ya me citaron el libro hace años y vi el documental. Creo recordar que, o no entendí nada, o no encontré en ello relación con mis inquietudes. No lo recuerdo porque llevo muchos años con estas cosas (y se trata de un tema extremadamente multidisciplinario) y he molestado a muchísima gente, sobre muchos asuntos relacionados, y he recibido más referencias bibliográficas de las que tendría tiempo de revisar en una vida. Igualmente, ya he tomado nota del teorema de los números primos para revisarlo en cuanto pueda, como sugirió Calos Ivorra. De hecho, hará más de cinco años ya pasé por este foro preguntando otras cosas relacionadas al asunto que investigo. Asunto que voy a explicarte más extensamente (ahora sí) y con el que espero no aburrirte.
Verás, a mí lo que me interesa es la generación de patrones en la naturaleza, que suele investigarse bajo la bandera de la autoorganización, el orden espontáneo, la emergencia, las ciencias de la complejidad, etc. Pero dado que debe comenzarse por las nociones de los conceptos fundamentales, especialmente el de orden (regularidad, periodicidad, iteración…), el asunto creo que queda ya fuera de las matemáticas y de cualquier ciencia y, más bien, dentro de la filosofía de la ciencia.
La conclusión a la que he llegado es que ningún proceso generará un resultado con irregularidades, a menos que haya irregularidades implicadas en el mismo proceso (como es el caso de la suma de funciones periódicas, que siempre será una función periódica, por poner un ejemplo matemático). Que el orden solo puede producir orden. No espero que se entienda, pero si quieres puedo enviarte por email un artículo que probablemente se publicará en breve con esa propuesta, en una revista de filosofía de la ciencia. Al menos, después de una reñida revisión de pares anónimos, el equipo editorial me comunicó que había decidido publicarlo con cambios. Cambios que ya apliqué y envié, y me contestaron que ya estaban con la corrección ortográfica y de estilo.

Por ese motivo (que, en mi opinión, el orden solo puede producir orden), un resultado con irregularidades, como la distribución de los primos, a partir de un proceso iterativo (la supresión de los múltiplos de cualquier número), es para mí muy interesante porque contradice lo que me parecía un principio general.

Mi conclusión, extrapolando ese principio que propongo a los números primos, es que puede demostrarse que estos presentan irregularidad en su distribución; pero también (aunque parezca contradictorio) que puede demostrarse que no presentan ninguna irregularidad. Más exactamente, que se trata de una iteración estrictamente periódica de tramos irregulares, pero que la longitud de estos tramos es infinita.
Creo que conseguiré que se entienda y voy con ello:

Imagina que tenemos una cinta métrica infinita, con todos los números naturales ordenadamente dispuestos cada uno en cada centímetro.
Por otra parte tomamos una cinta en blanco infinita, y hacemos una perforación al principio, luego dejamos un espacio de 1 cm., hacemos otra perforación, dejamos otro centímetro, etc., de modo que al colocar la cinta perforada sobre la cinta enumerada, quedan cubiertos todos los pares, mientras los impares se ven a través de los orificios. Hemos eliminado los múltiplos de 2.
El patrón es regular: consiste en una reiteración de tramos de 2 componentes (un orificio y un espacio cubierto), y veríamos:

1 X    3 X    5 X    7 X    9 X…

Por otra parte tomamos otra cinta y hacemos 2 perforaciones y dejamos un centímetro, 2 perforaciones, 1 cm... Al colocar esta cinta sobre la cinta enumerada, cubriríamos todos los múltiplos de 3.
De nuevo el patrón sería regular: la iteración de tramos de 3 componentes (2 orificios y un espacio):

1 2 X   4 5 X   7 8 X   10 11 X…

Y si colocamos sobre la cinta numerada, las dos cintas perforadas (eliminando así los múltiplos de 2 y de 3), vamos a tener también una iteración de tramos. Pero ahora esos tramos serán de 6 componentes (2x3).

1 X X X 5 X   7 X X X 11 X   13 X X X 17 X

En este punto, no es necesario eliminar los múltiplos de 4 ni de ningún otro par, porque ya los ha eliminado la primera cinta (la de los múltiplos de 2), así que pasamos a perforar una cinta, de modo que cubra los múltiplos de 5 (4 orificios y un espacio…).
De nuevo, cubiertos así los múltiplos de 2, de 3 y de 5, tendremos iteración de tramos, que ahora serán tramos de 30 componentes (2x3x5). Veríamos:

 1  X X X X X  7  X X X 11 X 13 X X X 17 X 19 X X X 23 X X X X X 29 X
31 X X X X X 37 X X X 41 X 43 X X X 47 X 49 X X X 53 X X X X X 59 X

El punto es que, pongamos las plantillas perforadas que pongamos, y al ser estas regulares, el patrón de superposición será siempre regular: una iteración de tramos irregulares (de perforaciones y espacios cubiertos). Pero pasan dos cosas (y con esto ya acabo):

Por un lado, que mientras más plantillas añadimos, más extensos son los tramos irregulares que se repiten. Y por otra parte, que para conseguir eliminar los múltiplos de todos los números (con el objetivo de dejar solo visibles los primos), y dado que los números son infinitos, deberíamos superponer infinitas plantillas perforadas. Por tanto, creo, podría decirse que el patrón responde a una estricta iteración de tramos irregulares, pero que esos tramos, son de longitud infinita (de modo que estaríamos siempre dentro del primer tramo, irregular, pero que “en el infinito”, en teoría, se repetirá). No sé si se habrá entendido… también tengo por ahí un borrador con el asunto acompañado de gráficos, si te interesa.

A esta conclusión es a lo que me llevó el asunto que investigo, aplicándolo a los números primos, y sobre lo que esperaba saber si era una barbaridad.

p.s.: lo de eliminar el uno, claro, rompe toda regularidad.

30 Junio, 2021, 09:06 pm
Respuesta #15

C. Enrique B.

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¡Oh, no! No creo que minette haya puesto mucho énfasis en su supuesta queja, y en cualquier caso este foro permite esa reclamación de cariño, ya que los integrantes del mismo somos todos buena gente y de excelente disposición; en cuanto a tus "habilidades sociales" las veo perfectas, TEG.

Además la brevedad y concisión del mensajito de minette hacen que tod@s nosotros lo hayamos asumido adecuadamente, y además de manera sólida, por los conceptos que incluye: Du Sautoy es ubicuo, está en todos los sitios y en todos a la vez. Ayer concretamente me lo encontré en la sopa fría que estaba yo tomando en la cena, me sonrió, me propuso un juego matemágico y se fué difuminando poco a poco hasta desaparecer detrás de un fideo del calibre "2" (sin perder la sonrisa en ningún momento). Levanté el fideo con cuidado pero ya no estaba Du Sautoy.

¡Un "besoTEG", un beso, minette!
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-- FALTAN LAS MUJERES en muchos ámbitos sociales. Yo no me siento perteneciente al bando masculino; soy del bando de las personas. Chicas, manifestáos; no concibo charlar sobre un tema si no estáis vosotras: es impropio, casi absurdo.

30 Junio, 2021, 09:36 pm
Respuesta #16

feriva

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Hola, TEG.


Imagina que tenemos una cinta métrica infinita, con todos los números naturales ordenadamente dispuestos cada uno en cada centímetro.
Por otra parte tomamos una cinta en blanco infinita, y hacemos una perforación al principio, luego dejamos un espacio de 1 cm., hacemos otra perforación, dejamos otro centímetro, etc., de modo que al colocar la cinta perforada sobre la cinta enumerada, quedan cubiertos todos los pares, mientras los impares se ven a través de los orificios. Hemos eliminado los múltiplos de 2.
El patrón es regular: consiste en una reiteración de tramos de 2 componentes (un orificio y un espacio cubierto), y veríamos:

1 X    3 X    5 X    7 X    9 X…

Por otra parte tomamos otra cinta y hacemos 2 perforaciones y dejamos un centímetro, 2 perforaciones, 1 cm... Al colocar esta cinta sobre la cinta enumerada, cubriríamos todos los múltiplos de 3.
De nuevo el patrón sería regular: la iteración de tramos de 3 componentes (2 orificios y un espacio):

1 2 X   4 5 X   7 8 X   10 11 X…

Y si colocamos sobre la cinta numerada, las dos cintas perforadas (eliminando así los múltiplos de 2 y de 3), vamos a tener también una iteración de tramos. Pero ahora esos tramos serán de 6 componentes (2x3).

1 X X X 5 X   7 X X X 11 X   13 X X X 17 X

En este punto, no es necesario eliminar los múltiplos de 4 ni de ningún otro par, porque ya los ha eliminado la primera cinta (la de los múltiplos de 2), así que pasamos a perforar una cinta, de modo que cubra los múltiplos de 5 (4 orificios y un espacio…).
De nuevo, cubiertos así los múltiplos de 2, de 3 y de 5, tendremos iteración de tramos, que ahora serán tramos de 30 componentes (2x3x5). Veríamos:

 1  X X X X X  7  X X X 11 X 13 X X X 17 X 19 X X X 23 X X X X X 29 X
31 X X X X X 37 X X X 41 X 43 X X X 47 X 49 X X X 53 X X X X X 59 X

El punto es que, pongamos las plantillas perforadas que pongamos, y al ser estas regulares, el patrón de superposición será siempre regular: una iteración de tramos irregulares (de perforaciones y espacios cubiertos). Pero pasan dos cosas (y con esto ya acabo):

Por un lado, que mientras más plantillas añadimos, más extensos son los tramos irregulares que se repiten. Y por otra parte, que para conseguir eliminar los múltiplos de todos los números (con el objetivo de dejar solo visibles los primos), y dado que los números son infinitos, deberíamos superponer infinitas plantillas perforadas. Por tanto, creo, podría decirse que el patrón responde a una estricta iteración de tramos irregulares, pero que esos tramos, son de longitud infinita (de modo que estaríamos siempre dentro del primer tramo, irregular, pero que “en el infinito”, en teoría, se repetirá). No sé si se habrá entendido… también tengo por ahí un borrador con el asunto acompañado de gráficos, si te interesa.

A esta conclusión es a lo que me llevó el asunto que investigo, aplicándolo a los números primos, y sobre lo que esperaba saber si era una barbaridad.

p.s.: lo de eliminar el uno, claro, rompe toda regularidad.

Creo que lo entiendo, pero tendría que mirarlo más despacio; y además la cosa tiene un “duende” que ahora verás

Lo que utilizas se llama primorial y parece que ves que éste guarda una relación con trozos que tienen la misma configuración en cuanto a distancias.

...

Igual que el factorial de 3, por poner un caso, es\( 3!=1\cdot2\cdot3=6
  \), el primorial de los tres primeros primos se escribe con una almohadilla y es \( P_{3}\#=2\cdot3\cdot5=30
  \). Y si es el de cuatro, pues \( P_{4}\#=2\cdot3\cdot5\cdot7=210
  \) y así sucesivamente.

Entonces, si atendemos al primorial de 2, que es 6, escribimos los 6 primeros números naturales tachando los múltiplos de 2 y 3.

\( 1,{\color{red}2,3,4},5,{\color{red}6}
  \).

Spoiler

*Y efectivamente, el 1 no es mútliplo de 2 ni de 3, no pasa nada; el 1 no es primo pero tampoco no primo. A veces, para cosas, se puede meter con los primos y otras con los compuestos; sin que por ello quiera decir que sea primo ni compuesto.

[cerrar]

Si ahora consideramos el siguiente primorial de 3, es 30; escribimos los 30 primeros números y tachamos los mútliplos de los primos que intervienen en el primorial, o sea los tres primeros:

\( 1,{\color{red}2,3,4,5,6,}7,{\color{red}8,9,10},11,{\color{red}12},13,{\color{red}14,15,16},17,{\color{red}18},19,{\color{red}20,21,22},23,{\color{red}24,25,26,27,28},29,{\color{red}30}
 
  \)

Eso es lo que quieres decir.

Pero ahora continúas y pones debajo los siguientes treinta números, de forma que las distancias coinciden... pero aparece el 49, que no es primo, es 7 al cuadrado; ése es el duende.

Saludos.

01 Julio, 2021, 07:33 pm
Respuesta #17

TEG

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¡Oh, no! No creo que minette haya puesto mucho énfasis en su supuesta queja, y en cualquier caso este foro permite esa reclamación de cariño, ya que los integrantes del mismo somos todos buena gente y de excelente disposición; en cuanto a tus "habilidades sociales" las veo perfectas, TEG.

Además la brevedad y concisión del mensajito de minette hacen que tod@s nosotros lo hayamos asumido adecuadamente, y además de manera sólida, por los conceptos que incluye: Du Sautoy es ubicuo, está en todos los sitios y en todos a la vez. Ayer concretamente me lo encontré en la sopa fría que estaba yo tomando en la cena, me sonrió, me propuso un juego matemágico y se fué difuminando poco a poco hasta desaparecer detrás de un fideo del calibre "2" (sin perder la sonrisa en ningún momento). Levanté el fideo con cuidado pero ya no estaba Du Sautoy.

¡Un "besoTEG", un beso, minette!
-

Pensé que seguramente era broma, y además aprecio mucho el sentido del humor, pero por si acaso, preferí pedir disculpas. Ya te digo que a mí esas cosas me cuesta pillarlas. Gracias por la aclaración y un beso.

01 Julio, 2021, 07:39 pm
Respuesta #18

TEG

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Creo que lo entiendo, pero tendría que mirarlo más despacio; y además la cosa tiene un “duende” que ahora verás

Lo que utilizas se llama primorial y parece que ves que éste guarda una relación con trozos que tienen la misma configuración en cuanto a distancias.

...

Igual que el factorial de 3, por poner un caso, es\( 3!=1\cdot2\cdot3=6
  \), el primorial de los tres primeros primos se escribe con una almohadilla y es \( P_{3}\#=2\cdot3\cdot5=30
  \). Y si es el de cuatro, pues \( P_{4}\#=2\cdot3\cdot5\cdot7=210
  \) y así sucesivamente.

Entonces, si atendemos al primorial de 2, que es 6, escribimos los 6 primeros números naturales tachando los múltiplos de 2 y 3.

\( 1,{\color{red}2,3,4},5,{\color{red}6}
  \).

Spoiler

*Y efectivamente, el 1 no es mútliplo de 2 ni de 3, no pasa nada; el 1 no es primo pero tampoco no primo. A veces, para cosas, se puede meter con los primos y otras con los compuestos; sin que por ello quiera decir que sea primo ni compuesto.

[cerrar]

Si ahora consideramos el siguiente primorial de 3, es 30; escribimos los 30 primeros números y tachamos los mútliplos de los primos que intervienen en el primorial, o sea los tres primeros:

\( 1,{\color{red}2,3,4,5,6,}7,{\color{red}8,9,10},11,{\color{red}12},13,{\color{red}14,15,16},17,{\color{red}18},19,{\color{red}20,21,22},23,{\color{red}24,25,26,27,28},29,{\color{red}30}
 
  \)

Eso es lo que quieres decir.

Pero ahora continúas y pones debajo los siguientes treinta números, de forma que las distancias coinciden... pero aparece el 49, que no es primo, es 7 al cuadrado; ése es el duende.

Saludos.

Hola, feriva, y enhorabuena por cómo explicas las cosas a los que no sabemos (nunca había comprendido dos conceptos matemáticos seguidos, tan rápido). Espero que seas docente.

Una nota: algunos de los ejemplos más recurrentes en la literatura sobre generación de patrones ordenados son la cristalización mineral, la formación de vórtices, la sincronización de mareas o la resonancia orbital, o algunas operaciones con objetos abstractos como sucesiones numéricas o polígonos (como las teselaciones), etc. Pero claro, mi nivel de cristalografía, dinámica de fluidos, astrofísica, matemáticas, etc. es muy bajo, por eso pregunto tanto donde sé que se sabe de cada cosa. Por eso también, te pido que me permitas seguir llevando el asunto a mi terreno, extrapolando en lo posible las operaciones matemáticas a procesos físicos, como la superposición de plantillas. Y precisamente porque mi nivel es muy bajo, no creo que represente para ti ningún problema comprender mis planteamientos.

Y ya que he expuesto el asunto que motiva este tema, creo que merece la pena que tengas presente mi “tesis”: si en un proceso no hay implicada ninguna irregularidad, su resultado no presentará ninguna irregularidad. O lo que es lo mismo: cualquier estructura que presente la más mínima irregularidad será resultado, necesariamente, de un proceso en el que se ha introducido alguna irregularidad.
Por ello, como decía, me interesa mucho la irregularidad de los primos, porque aparentemente es resultado de un proceso estrictamente ordenado: la progresiva eliminación de los múltiplos de cada número (menos de 1, claro).

Veo que hay coincidencias que ignoraba, como que la longitud de los tramos que se repiten a medida que añadimos plantillas (cintas perforadas), parece coincidir con los primoriales. Y probablemente sea así y la explicación sea de Perogrullo, pero relación, parece que hay. Sin embargo, no estoy seguro de la necesidad de recurrir a esos conceptos, y creo que lleva a un mal entendido que intentaré aclarar:

En primer lugar, en mi mensaje anterior, cuando superponía las tres primeras plantillas (las que cubren los múltiplos de 2, de 3 y de 5), consideraba plantillas infinitas, superpuestas sobre una cinta infinita con los números naturales. Pero no estaba hablando de primos (todavía). Simplemente quería mostrar que el resultado de ese proceso (la eliminación progresiva de múltiplos mediante la superposición de plantillas perforadas), siempre presentará regularidad.

Para conseguir cubrir todos los no primos (ahora sí hablo de ellos) deberíamos superponer infinitas plantillas. Como bien apuntas y si no me equivoco: las plantillas que cubren los múltiplos de cada (primorial) primo.

El 49, que no es primo, se eliminaría al aplicar la siguiente plantilla (la de los múltiplos de 7). Y al aplicar la siguiente plantilla, que cubriría los múltiplos de 11, ya tendríamos solo primos en los primeros 100 naturales. Pero el proceso, como digo, es infinito. Y ahí es donde yo creo que está el duende, en el infinito.

Me explico:
En primer lugar, cuando abrí el tema, no sabía si estaba demostrada la irregularidad de los primos, si estaba demostrada la regularidad, si no se había encontrado un patrón pero no se descartaba su existencia, etc. (como expuse). Ahora lo veo todo más claro (sobre todo el consenso sobre la irregularidad) y mi conclusión, por ahora, es la siguiente:

Lo de los números primos, es “algo que nos hemos inventado”, pero es imposible, en la práctica, crear una lista de los números primos, porque sería un proceso infinito. Por eso intentar aplicar a ese proceso el principio que propongo, chirría. Y explico ahora esto:

Cuando aplicamos la primera cinta perforada que cubre los múltiplos de 2 (en adelante plantilla 2), tenemos tramos (de orificios y espacios cubiertos) de dos componentes (un orificio y un espacio cubierto) que se repiten periódicamente hasta el infinito. Veríamos lo siguiente:

1 X 3 X 5 X 7 X 9 X 11 X…

Ahora bien, cuando superponemos además la ´plantilla 3´, rompemos esa regularidad; porque al primer tramo que teníamos (un orificio y un espacio), no lo afectamos, y sin embargo, afectamos al segundo tramo (cubriendo el 3). Y sin embargo, tenemos una regularidad nueva: los tramos que se repiten, ahora son de 6 componentes:

1 X X X 5 X 7 X X X 11 X 13 X X X 17 X…

Y al agregar la ´plantilla 5´, afectaríamos de nuevo de distinta forma a los tramos anteriores, rompiendo su regularidad, pero tendríamos repetición de tramos de 30 componentes, etc.

Cada vez que aplicamos una nueva plantilla, rompemos la regularidad que había, pero seguiremos teniendo periodicidad de tramos (en cuanto a orificios y espacios cubiertos), cumpliéndose así, creo, el principio que propongo.

En el momento que sea, aunque hayamos aplicado las 5000 primeras plantillas (que cubrirían los múltiplos de los 5000 primeros (primoriales) primos), tendremos siempre tramos irregulares que se repiten periódicamente (extensísimos e irregulares, pero que se repiten).

El problema es que cuando decimos “los números primos”, estamos aludiendo al resultado de un proceso infinito (la aplicación de infinitas plantillas). Por tanto creo, por ahora, que podría decirse, al menos desde esta perspectiva, que los números primos tienen un patrón regular de distribución, consistente en la iteración de tramos irregulares; pero también que la longitud de esos tramos es infinita.

No sé si se entenderá, si solo he hecho repetir lo que había dicho, o si estoy articulando demasiado la hipótesis para que cuadre… Ya me diréis.

Por último, he revisado el teorema de los números primos, como me aconsejasteis, DaniM, Carlos Ivorra y minette. Suponía que sería demasiado para mí, pero creo haberlo comprendido. Y parece que es muy coherente con la observación del proceso de superposición de plantillas:

A medida que aplicamos plantillas ´más altas´, el primer número que cubriremos será más alto. De manera que cuando apliquemos la plantilla 10.301, así como cualquiera de las siguientes, no cubriremos (nunca más) ninguno de los 10.300 primeros naturales; ese tramo quedará intacto para siempre. Y cuando apliquemos, más adelante, la plantilla 10.501, y cualquiera de las siguientes, quedará intacto el tramo de los naturales hasta ese número. Sin embargo, cada plantilla seguirá cubriendo algunos de los naturales mayores, de modo que, podríamos decir, habrá un tramo ´intacto´ cada vez más extenso, que ninguna plantilla posterior afectará.

Esto parece coherente con el teorema de los primos, digo, porque cada plantilla cubrirá infinitos naturales, pero empezando cada vez más adelante; el primer número cubierto por cada plantilla será cada vez mayor, de modo que habrá más naturales cubiertos mientras más avancemos, y por tanto menor densidad de primos.

Un saludo.

01 Julio, 2021, 10:41 pm
Respuesta #19

feriva

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Hola, TEG.

Hola, feriva, y enhorabuena por cómo explicas las cosas a los que no sabemos (nunca había comprendido dos conceptos matemáticos seguidos, tan rápido). Espero que seas docente.

No, qué va, soy sólo un mal aficionado a las matemáticas y algo más especial aficionado a los primos, pero seguro que sabes tú más que yo de bastantes cosas. Muchas gracias.

Efectivamente, vas tapando los múltiplos y quedarán algunos tramos (a lo largo de los infinitos números primos que queden descubiertos) que sean iguales por trozos en cuanto a distancias, pero esos tramos, como conjuntos, no van a estar a la mismas distancias en general, no van a ser simétricos; en ese sentido no son regulares.

Los primos se van colocando a lo largo de la recta numérica en acordeón, se juntan y se separan, pero cada cierto tiempo se separan más de lo que se habían separado las veces anteriores; por lo que te dije sobre que siempre hay una distancia mayor que cualquiera (según se va hacia el infinito).

Cuando hablas de perforaciones, te refieres a lo que yo normalmente llamo huecos. Pero el concepto de distancia (tal como se entiende en matemáticas) es más cómodo para analizar algunas cosas; simplemente se trata de restar. Por ejemplo, veamos las distancias entre estos primos consecutivos

\( 1,{\color{red}2,3},4,{\color{red}5},6,{\color{red}7},8,9,10,{\color{red}11},12,{\color{red}13},14,15,16,{\color{red}17}
  \)

son

\( 3-2={\color{red}1};\:5-3={\color{red}2};\:7-5={\color{red}2};\:11-7={\color{red}4}... \)
 
Es decir, colocadas en sucesión, las distancias son 1,2,2,4... Y con estos números también se puede apreciar hasta que punto son regulares los números (distancias) que se repiten.

He hecho un pequeño programa para hallarlas; te pongo todas las distancias entre primos consecutivos hasta el primo 1999 para que te hagas un idea; pincha en el spoiler para verlas

Spoiler
1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 10, 14, 4, 2, 4, 14, 6, 10, 2, 4, 6, 8, 6, 6, 4, 6, 8, 4, 8, 10, 2, 10, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 12, 8, 4, 8, 4, 6, 12, 2, 18, 6, 10, 6, 6, 2, 6, 10, 6, 6, 2, 6, 6, 4, 2, 12, 10, 2, 4, 6, 6, 2, 12, 4, 6, 8, 10, 8, 10, 8, 6, 6, 4, 8, 6, 4, 8, 4, 14, 10, 12, 2, 10, 2, 4, 2, 10, 14, 4, 2, 4, 14, 4, 2, 4, 20, 4, 8, 10, 8, 4, 6, 6, 14, 4, 6, 6, 8, 6, 12, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 10, 2, 10, 2, 6, 18, 4, 2, 4, 6, 6, 8, 6, 6, 22, 2, 10, 8, 10, 6, 6, 8, 12, 4, 6, 6, 2, 6, 12, 10, 18, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 12, 2, 6, 34, 6, 6, 8, 18, 10, 14, 4, 2, 4, 6, 8, 4, 2, 6, 12, 10, 2, 4, 2, 4, 6, 12, 12, 8, 12, 6, 4, 6, 8, 4, 8, 4, 14, 4, 6, 2, 4, 6, 2, 6, 10, 20, 6, 4, 2, 24, 4, 2, 10, 12, 2, 10, 8, 6, 6, 6, 18, 6, 4, 2, 12, 10, 12, 8, 16, 14, 6, 4, 2, 4, 2, 10, 12, 6, 6, 18, 2, 16, 2, 22, 6, 8, 6, 4, 2
[cerrar]

El conjunto de distancias distintas es
{1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 34}
no hay más hasta 1999.
Llama la atención que aparece la distancia 34, la máxima, antes que las distancias 26, 28, 30 y 32 (que sí aparecen si seguimos hasta más lejos).
En cambio, las menores hasta 24 están todas (las distancias entre primos son pares siempre menos la distancia 1 que hay entre el 2 y el 3; distancia que sólo aparece esa vez y nunca más, lo cual es fácil de ver).

En cuanto a lo que hace lo puedes obtener igual mediante la criba de Eratóstenes, tachando los múltiplos a mano, no veo demasiada diferencia; no sé si la conoces, pero buscando vendrán por ahí muchos enlaces.

Pero ahora que lo miro otra vez, si vas tapando los múltiplos junto con los primos, 2.3.5... hasta el infinito, al final no te queda más que el 1 descubierto.

Este otro programa que he hecho hace exactamente lo que dices. Te lo pongo sólo para tres primoriales, con eso ya se ve que va siendo cada vez más irregular y fallan más parejas según distancias

Spoiler

Primorial de 3 = (2·3·5)

1 , 31
7 , 37
11 , 41
13 , 43
17 , 47
19 , 49 NO
23 , 53
29 , 59
…..............................................................................

Primorial de 4 = (2·3·5·7)

1 , 211
11 , 221 NO
13 , 223
17 , 227
19 , 229
23 , 233
29 , 239
31 , 241
37 , 247 NO
41 , 251
43 , 253 NO
47 , 257
53 , 263
59 , 269
61 , 271
67 , 277
71 , 281
73 , 283
79 , 289 NO
83 , 293
89 , 299 NO
97 , 307
101 , 311
103 , 313
107 , 317
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127 , 337
131 , 341 NO
137 , 347
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149 , 359
151 , 361 NO
157 , 367
163 , 373
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173 , 383
179 , 389
181 , 391 NO
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191 , 401
193 , 403 NO
197 , 407 NO
199 , 409
209 , 419 NO

…..............................................................................

Primorial de 5   (2·5·3·7·11)

1 , 2311
13 , 2323 NO
17 , 2327 NO
19 , 2329 NO
23 , 2333
29 , 2339
31 , 2341
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67 , 2377
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73 , 2383
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Saludos.