Autor Tema: ¿Existe regularidad en los números primos?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Junio, 2021, 11:00 am
Leído 1306 veces

TEG

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 22
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola. Supongo que pregunto sobre algo muy elemental para un matemático, pero para mí no está nada clara la respuesta. Mientras más busco por la red más me confundo, encontrando distintas definiciones de ´número primo´, distintas nociones de ´regularidad´, etc., así que a ver si aquí podéis ayudarme.
Mi pregunta es:
¿Existe regularidad en la disposición de los números primos, dentro de la sucesión de los números naturales?

Con regularidad me refiero a regularidad geométrica de su ubicación en la sucesión de los números naturales. Es decir, si escribimos los números naturales en línea, separados por la misma distancia (como en una cinta métrica aparecen los centímetros) y marcamos los primos, ¿la disposición de las marcas presentaría regularidad geométrica, o respondería a un patrón irregular de distribución?
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18…)

Si hay varias acepciones de ´número primo´, me gustaría saber cuál sería la respuesta respecto a la acepción más común. O también (si fuese el caso) entre las distintas acepciones, según cuáles presentarían regularidad y según cuáles no.
Sobre la regularidad, me gustaría saber si se trata: 1) de una regularidad estricta, 2) de una cierta regularidad general, pero con algunas irregularidades, o 3) de total irregularidad.
Por último, me gustaría saber hasta qué punto hay consenso en la respuesta. Es decir, si se reconoce regularidad y se conocen bien la causa y el patrón; si existe irregularidad y esta es comprendida y demostrable; si no se ha encontrado un patrón regular pero no se descarta esa posibilidad; etc.

Muchas gracias de antemano

28 Junio, 2021, 12:25 pm
Respuesta #1

DaniM

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 110
  • País: cz
  • Karma: +0/-0
Tengo conocimientos muy limitados sobre este tema, así que invito a los compis del foro a que me corrijan en caso necesario, pero hasta donde yo sé no existe ningún teorema que nos permita afirmar que un número \( n \) arbitrario es primo o no sin necesidad de probar a descomponerlo en factores primos.

Hay teoremas, como el de Dirichlet, que nos permiten generar series infinitas de números primos. Es decir, sabemos generarlos, pero no sabemos ir hacia atrás y determinar si un número dado es primo o no con solo analizar los dígitos que lo componen.

Lo que más se acerca a responder a tu pregunta es el muy creativamente llamado teorema de los números primos, que da una descripción aproximada sobre cómo están distribuidos los números primos, pero no es exacta.

Si supiéramos cómo es la distribución exacta de los números primos, sabríamos determinar si cualquier número arbitrario \( n \) es primo o no sin apenas usar recursos computacionales, lo cual irónicamente implicaría un apocalipsis tecnológico a nivel mundial.

28 Junio, 2021, 01:05 pm
Respuesta #2

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,974
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola. Supongo que pregunto sobre algo muy elemental para un matemático, pero para mí no está nada clara la respuesta. Mientras más busco por la red más me confundo, encontrando distintas definiciones de ´número primo´, distintas nociones de ´regularidad´, etc., así que a ver si aquí podéis ayudarme.
Mi pregunta es:
¿Existe regularidad en la disposición de los números primos, dentro de la sucesión de los números naturales?

Con regularidad me refiero a regularidad geométrica de su ubicación en la sucesión de los números naturales. Es decir, si escribimos los números naturales en línea, separados por la misma distancia (como en una cinta métrica aparecen los centímetros) y marcamos los primos, ¿la disposición de las marcas presentaría regularidad geométrica, o respondería a un patrón irregular de distribución?
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18…)

Si hay varias acepciones de ´número primo´, me gustaría saber cuál sería la respuesta respecto a la acepción más común. O también (si fuese el caso) entre las distintas acepciones, según cuáles presentarían regularidad y según cuáles no.
Sobre la regularidad, me gustaría saber si se trata: 1) de una regularidad estricta, 2) de una cierta regularidad general, pero con algunas irregularidades, o 3) de total irregularidad.
Por último, me gustaría saber hasta qué punto hay consenso en la respuesta. Es decir, si se reconoce regularidad y se conocen bien la causa y el patrón; si existe irregularidad y esta es comprendida y demostrable; si no se ha encontrado un patrón regular pero no se descarta esa posibilidad; etc.

Muchas gracias de antemano

Hola.

Antes de nada: Es muy probable que cuando haya terminado de escribir esto ya te haya contestado alguien diciendo en esencia algunas cosas que te voy a decir yo. Esto es normal adivinarlo porque este tipo de preguntas son más o menos habituales (expresadas de una manera ui otra) y porque yo mismo he aprendido muchas cosas de los matemáticos que habitualmente atienden las consultas en el foro.

Te van a decir que los conceptos tienen que estar bien definidos para poder contestar, que expliques mejor que es exactamente eso que llamas “regularidad geométrica” y otras ideas..

No obstante, yo creo entender a qué te refieres.

Si hablamos de naturales, un número primo es el que sólo es divisible entre sí mismo y la unidad.

La forma de verlo (o como a mí me gusta verlo) es pensar primero en los números que no son primos considerando sumas de un mismo número repetido: por ejemplo: 2+2+2 ó 3+3... lo que sea. Esos números son los no primos.

Pero hay que explicar un poco más, aunque se intuya: se entiende que son sumas de dos sumandos o más, un número suelto no se considera una suma porque entonces no podemos hacer la distinción con los primos. Y también, muy importante, hay que eliminar el 1; éste no cuenta, porque mediante la suma de unos podemos obtener cualquier número natural salvo el 1 y el cero: por ejemplo, 1+1+1=3.

Así, los números compuestos, es decir, los no primos, son el resultado de la suma de un mismo número distinto de 1.

Por contraposición, los primos son los que no podemos formar de esa manera, con sumas de ese tipo.

Ahora es importante el concepto de múltiplo, que tiene mucho que ver con esto.

Multiplicando unos no podemos obtener otros números (es neutro, siempre da 1) como sí podíamos al sumar unos, pero todos los números son múltiplos de 1: es decir, para cualquier entero \( n \) se tiene \( n\cdot1=n
  \).

Sin embargo, no todos los “n” son múltiplos de 2, por ejemplo; así, por caso, no encontramos ningún número entero que multiplicado por 2 dé 25, ni 23... ningún impar. Y lo mismo pasa si en vez de 2 decimos cualquier otro número, 3, 4, el que sea, no todos los números son múltiplos de 3, no todos los son de 4... No pasa como con el 1.

Vemos una clara relación cuando miramos a ver qué cosa es un primo o un compuesto usando la suma y usando el producto; el 1 es decisivo en ambos casos, de distinta manera, pero en el fondo por la misma razón; al fin y al cabo la multiplicación es una suma; la suma de un mismo uno número varias veces.

Ocurre que las “veces” también es un número y la idea es “intercambiable”; quiero decir que esto \( 3\cdot4
  \) es tres veces cuatro o cuatro veces tres, el resultado es el mismo número, \( 3\cdot4=4\cdot3
  \).

Pero observamos una diferencia entre los factores; el 4 también es dos veces 2, y eso nos permite decir que\( 4\cdot3
  \), cuatro veces tres, es lo mismo que dos veces seis \( 2(2\cdot3)=2\cdot6
  \).

Al ser compuesto, el 4 nos permite encontrar otra forma distinta de expresar el mismo producto. En cambio, con el 3 no podemos hacer eso, sólo podemos hacer \( 3\cdot1
  \), pero esto lo podemos hacer con todos, no sirve para distinguir nada, también \( 4\cdot1=4
  \).

Entonces vemos que 12 se puede expresar como producto de distintos números; pero sólo existe una manera de que todos los factores sean primos, ésta: \( 2\cdot2\cdot3
  \) (podemos cambiar el orden en la colocación, pero son los mismos). También podríamos multiplicarlo por varios unos, pero eso tampoco cuenta como descomposiciones distintas, es la misma.

(Al igual que es necesario eliminar el 1 para definir los no primos a a partir de sumas de un mismo número, aquí también es necesario quitarlo, no considerarlo).

Una vez matizado esto, los no primos son los que se pueden escribir como producto de dos números; análogamente a la consideración anterior, usando la suma.

Los múltiplos de un número, el que sea, guardan siempre la misma distancia; por ejemplo, los de 6

\( 0,1,2,3,4,5,{\color{blue}6},7,8,9,10,11,{\color{blue}12},13,14,15,16,17,{\color{blue}18...}
  \).

Contamos desde de cero porque cero es múltiplo de cualquier número; es decir, el producto \( 0\cdot n
  \) da cero, que es entero, no tiene decimales. Dicho de otra manera, cero es divisible por “n”, si dividimos cero entre cualquier número también da cero, que es entero.

Ahí hemos considerado 6, que no es primo, y por eso detrás tenemos el 2 y el 3, de tal forma que \( 2 \cdot 3=6 \), pero si consideramos los múltiplos de un primo, detrás no tenemos a nadie para formarlo con un producto; dejando de considerar el cero, es el primero de los múltiplos de esa familia de múltiplos. La palabra que utilizamos para nombrar a estos números, “primo”, viene de ahí; es el primero de los múltiplos (el primero distinto de cero).

Todos los múltiplos de 2, que es primo, están a la misma distancia, todos los múltiplos de 3, que también lo es, están a la misma distancia... pero no todos los múltiplos 2 están a la misma distancia que los de 3. Si son múltiplos de ambos, entonces sí, porque en ese caso son los múltiplos de 6, que es un mismo número, pero si tomamos 6 y 9... ambos nos son múltiplos de 6... Total, que “mezclando” ya no vamos a tener esa regularidad a la que te refieres; sin necesidad que sean primos necesariamente.

Como ningún primo es múltiplo de otro primo ni tiene ningún factor en común con otro primo (son todos coprimos, que se dice) pues, al considerar la sucesión de los números naturales, los primos quedan especialmente “descolocados” y nunca termina de formar un “periodo” de distancias que se repitan, nunca.

Claro, porque si vamos poniendo 1,2,3,4,5... cada vez que aparece un primo no tiene nada que ver con los de detrás, es el primero de esos múltiplos.

Luego si te refieres a esa regularidad, como la que puede tener el periodo de un número racional periódico (0,143143143...) pero referido a las distancias, la respuesta es no, no son regulares en ese sentido.

Saludos.

28 Junio, 2021, 01:07 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,934
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
La distribución de los primos es regular en términos estadísticos, igual que no puedes predecir qué va a salir al tirar un dado, pero sí que puedes predecir que si tiras un dado 1000 veces saldrán más o menos 166 seises, tampoco puedes predecir cuándo va a aparecer un primo en la sucesión de los números naturales, pero sí que puedes predecir cuántos primos aparecerán más o menos en un intervalo suficientemente amplio.

Considera por ejemplo la función \( \pi(x) \) que te da el número de primos menores o iguales que \( x \). Por ejemplo, \( \pi(10)=4 \), porque hay cuatro primos menores que \( 10 \), a saber, \( 2, 3, 5, 7 \).

Obviamente es una función creciente, porque cuanto mayor sea \( x \), más primos habrá antes que él, pero si la distribución de los primos fuera irregular,  \( \pi(x) \) podría ser una función muy caótica, que a ratos creciera muy deprisa, a ratos casi no creciera, etc. Nada más lejos de la realidad, juzga tú mismo a partir de su gráfica:



¿Te parece una función caótica? Al contrario, sigue una pauta de crecimiento muy regular. Además "se sabe por dónde va". Compara con la gráfica de la función \( x/\log x \):



¿Tienen un aire de familia, no?

Mejor si las vemos las dos juntas:



Hay una pequeña discrepancia, pero se puede mejorar si consideramos una función más sofisticada, a saber, la función

\( Li(x)=\int_2^x\frac{dx}{\log x} \).

He aquí las gráficas de las tres funciones, \( \pi(x) \), \( x/\log x \) y \( Li(x) \) en un intervalo pequeño para que se vean mejor los detalles:



La de arriba es la integral logarítmica y la de en medio, la que muestra "irregularidades locales" es la que da el número de primos exactos.

Este parecido no es casual, sino que es el teorema de los números primos:

https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_n%C3%BAmeros_primos

Y no es el único resultado que muestra la regularidad estadística de la distribución de los primos. DaniM ha citado el teorema de Dirichlet, que es otro ejemplo importante.

28 Junio, 2021, 02:08 pm
Respuesta #4

C. Enrique B.

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 472
  • País: es
  • Karma: +0/-0
    • Mi página en WikiPedia.
-
Pero el creador del hilo menciona "las distintas acepciones de Número Primo". Quizá no se refiere específicamente o literlamente a eso, pero SI se refiere a alguna otra idea interesante sobre la estructura de los primos o sobre el abordaje al problema.

¿Me he ido mucho? ¡¡Pistaaa ...!!!
-
-- FALTAN LAS MUJERES en muchos ámbitos sociales. Yo no me siento perteneciente al bando masculino; soy del bando de las personas. Chicas, manifestáos; no concibo charlar sobre un tema si no estáis vosotras: es impropio, casi absurdo.

28 Junio, 2021, 03:26 pm
Respuesta #5

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,402
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
-
Pero el creador del hilo menciona "las distintas acepciones de Número Primo". Quizá no se refiere específicamente o literlamente a eso, pero SI se refiere a alguna otra idea interesante sobre la estructura de los primos o sobre el abordaje al problema.

¿Me he ido mucho? ¡¡Pistaaa ...!!!
-

https://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_irreducible

28 Junio, 2021, 03:58 pm
Respuesta #6

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,974
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
-
Pero el creador del hilo menciona "las distintas acepciones de Número Primo". Quizá no se refiere específicamente o literlamente a eso, pero SI se refiere a alguna otra idea interesante sobre la estructura de los primos o sobre el abordaje al problema.

¿Me he ido mucho? ¡¡Pistaaa ...!!!
-

Yo he entiendo (he entendido) que cuando dice acepción se refiere a formas de definir o explicar lo que son los números primos. Pero después también pregunta sobre la “regularidad geométrica”, lo cual no sé con exactitud qué es, pero me he imaginado que podría ser lo que he dicho al final.

Saludos.

28 Junio, 2021, 07:27 pm
Respuesta #7

C. Enrique B.

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 472
  • País: es
  • Karma: +0/-0
    • Mi página en WikiPedia.
-- FALTAN LAS MUJERES en muchos ámbitos sociales. Yo no me siento perteneciente al bando masculino; soy del bando de las personas. Chicas, manifestáos; no concibo charlar sobre un tema si no estáis vosotras: es impropio, casi absurdo.

29 Junio, 2021, 12:39 pm
Respuesta #8

minette

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 1,035
  • Karma: +0/-5
  • Sexo: Femenino
Hola

A los interesados en esta cuestión, os sugiero leer el libro "La música de los números primos" de Marcus du Sautoy. Editorial Acantilado.

Saludos.


29 Junio, 2021, 06:54 pm
Respuesta #9

TEG

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 22
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola. Ante todo, muchísimas gracias y enhorabuena al foro por la actividad.

Tenía también dudas sobre el modo de plantear la pregunta y sobre los términos elegidos, pero veo que en general se entiende a qué me refiero. Estamos todos de acuerdo (yo también) en que existen irregularidades en la ubicación de los primos (dentro de la sucesión de los números naturales). Ahora bien, la afirmación de cualquier hecho puede estar basada en evidencias observacionales (que vemos que algo pasa), o en la comprensión de su causa (que entendemos por qué pasa). Y dado que los números primos son infinitos (supongo), la observación nunca será completa. Y entonces no podemos asegurar, al menos desde la observación, que esas irregularidades no se repitan periódicamente a partir de un cierto punto. Tomando como ejemplo el último gráfico de tu mensaje, Carlos Ivorra, las irregularidades de la línea azul, llegados a un cierto número, quizá altísimo, podrían repetirse periódicamente. O al menos supongo que no podríamos asegurar que eso no ocurra, a partir de la observación.
Se reduce todo entonces a una única pregunta: ¿existe una explicación causal lógica, que permita afirmar que esa iteración de tramos no se dará nunca?

En ese sentido, Feriva, dices:
“Todos los múltiplos de 2, que es primo, están a la misma distancia, todos los múltiplos de 3, que también lo es, están a la misma distancia... pero no todos los múltiplos 2 están a la misma distancia que los de 3. Si son múltiplos de ambos, entonces sí, porque en ese caso son los múltiplos de 6, que es un mismo número, pero si tomamos 6 y 9... ambos nos son múltiplos de 6... Total, que “mezclando” ya no vamos a tener esa regularidad a la que te refieres; sin necesidad que sean primos necesariamente.
Como ningún primo es múltiplo de otro primo ni tiene ningún factor en común con otro primo (son todos coprimos, que se dice) pues, al considerar la sucesión de los números naturales, los primos quedan especialmente “descolocados” y nunca termina de formar un “periodo” de distancias que se repitan, nunca.”


No sé si he entendido bien el argumento, pero creo que apuntas en esa dirección. La explicación que expones ¿está formalizada en el enunciado de algún teorema existente?

C. Enrique B., dices:
”Pero el creador del hilo menciona "las distintas acepciones de Número Primo". Quizá no se refiere específicamente o literlamente a eso, pero SI se refiere a alguna otra idea interesante sobre la estructura de los primos o sobre el abordaje al problema.
¿Me he ido mucho? ¡¡Pistaaa ...!!!”


Entiendo por primo lo que más o menos entendemos todos los profanos: “un número que solo es divisible entre sí mismo y uno; y el uno se elimina por convenio”. Pero me he topado con algunas objeciones a esa noción, y por ello preguntaba. No creo tener ninguna idea interesante. Creo que la distribución de los números primos es irregular (considerando también irregularidad, la regularidad estadística que mencionabas, Carlos Ivorra), y creo que puede demostrarse, con base en el modo en que producimos la sucesión de los primos. Por eso abrí el tema, por si estaba diciendo alguna barbaridad.

Reitero mi agradecimiento por los interesantes aportes, y reitero también la pregunta, que ahora es solo una:

Aunque la irregularidad en tramos dados es observable, ¿puede demostrarse que el conjunto completo no estará constituido por una iteración periódica de tramos irregulares?