Autor Tema: Conjunto de los números Naturales, su construción

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09 Mayo, 2021, 07:05 pm
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Berner

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¿Cómo puedo dar una interpretación particular del conjunto de los números Naturales, su construcción axiomática, así como sus propiedades fundamentales.?

09 Mayo, 2021, 07:49 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

¿Cómo puedo dar una interpretación particular del conjunto de los números Naturales, su construcción axiomática, así como sus propiedades fundamentales.?

Por ejemplo echa un vistazo a las páginas 10 a 12 y 18 a 27 de este libro:

Álgebra. Carlos Ivorra Castillo.

Saludos.


09 Mayo, 2021, 08:00 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola Luis

Por ejemplo echa un vistazo a las páginas 10 a 12 y 18 a 27 de este libro:

Gracias por compartirlo.

Estoy viendo el teorema 1.6 el de los axiomas de Peano, y veo que se listan los 5 axiomas que todos conocemos. Pero para mi sorpresa se realiza la demostración de cada axioma. ¿No era que los axiomas son postulados que se adoptaban como verdaderos? En ese caso no deberían llamarse "axiomas" en el libro pues tienen demostración, sino algo como "Propiedades", "Proposiciones" etc.

Saludos

09 Mayo, 2021, 08:34 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Estoy viendo el teorema 1.6 el de los axiomas de Peano, y veo que se listan los 5 axiomas que todos conocemos. Pero para mi sorpresa se realiza la demostración de cada axioma. ¿No era que los axiomas son postulados que se adoptaban como verdaderos? En ese caso no deberían llamarse "axiomas" en el libro pues tienen demostración, sino algo como "Propiedades", "Proposiciones" etc.

Aunque contestará mejor Carlos, en lo que estás leyendo el define los naturales a partir del Axioma de Infintud, y luego proporcional algún modelo y prueba como Teorema los "axiomas" de Peano.

Más adelante, páginas 18, 19 (atención a la Definición 1.12 y comentario posterior) prueba que también podrían construirse a partir de los Axiomas de Peano.

Saludos.

09 Mayo, 2021, 08:51 pm
Respuesta #4

Carlos Ivorra

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Estoy viendo el teorema 1.6 el de los axiomas de Peano, y veo que se listan los 5 axiomas que todos conocemos. Pero para mi sorpresa se realiza la demostración de cada axioma. ¿No era que los axiomas son postulados que se adoptaban como verdaderos? En ese caso no deberían llamarse "axiomas" en el libro pues tienen demostración, sino algo como "Propiedades", "Proposiciones" etc.

Los axiomas de Peano se llaman axiomas de Peano porque Peano los tomó como axiomas, lo cual no quita para que "lo que Peano tomó como axiomas" sean teoremas de la teoría de conjuntos. Pero no tendría mucho sentido llamarlos "Teoremas de Peano", porque Peano no demostró nada (no demostró los axiomas, quiero decir).

También puedes definir los conceptos de "punto", "recta", "plano", "congruencia", etc. en \( \mathbb R^3 \) y demostrar los axiomas de Hilbert para la geometría euclídea, por ejemplo.

Por otro lado, técnicamente, todo axioma de cualquier teoría axiomática es un teorema de esa misma teoría, cuya demostración empieza y termina con él mismo, por lo que "axioma" y "teorema" no son términos mutuamente contradictorios. Todo axioma es un teorema, pero el recíproco no es cierto en general.

10 Mayo, 2021, 02:47 am
Respuesta #5

argentinator

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¿Cómo puedo dar una interpretación particular del conjunto de los números Naturales, su construcción axiomática, así como sus propiedades fundamentales.?

Voy a suponer que te están pidiendo realizar este trabajo bajo el amparo de la Teoría de Conjuntos estándar.

En ese caso, los Axiomas de los Números Naturales son los que dio Peano,
lo cual significa una estructura \((N,0,s)\),
donde \(N\) es un conjunto no vacío,
\(0\) un elemento de \(N\),
\(s:N\to N\) una función,
y tal que se cumplen ciertas propiedades (axiomas):

1. \(s\) es inyectiva y \(0\not\in s(N)\).
2. Para todo subconjunto \(A\subset N\), \(A\neq \emptyset\),
    se tiene que si \(\forall n\in A: s(n)\in A\),
    entonces \(A=N\).

La propiedad 2 se llama "inducción".

Visto así, parece una forma muy resumida de los Axiomas de Peano.
Si te fijás en Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms

parece que Peano dio unos 9 Axiomas.
Pero todos ellos están "empaquetados" entre las hipótesis y las propiedades 1 y 2 que puse arriba.

Una lista de Axiomas es una "definición" para una estructura matemática.
Podría suceder que no haya jamás objetos que cumplan esa definición.
Si los Axiomas son contradictorios, se tiene esa situación: es una estructura sin sentido.

Por eso, dada una lista de Axiomas, es importante encontrar un ejemplo de conjuntos y objetos, en este caso una terna \((N,0,s)\),
que satisfagan los requisitos estipulados.

La típica construcción de Von Neumann se hace a partir de las leyes de la Teoría de Conjuntos, "apilando vacíos", llamando 0 a \(\emptyset\),
luego 1 al conjunto \(\{\emptyset\}\), o sea \(1=\{0\}\),
luego \(2=\{0,1\}\), \(3=\{0,1,2\}\), y así sucesivamente.
Se puede comprobar que existe un conjunto \(N\) que contiene
a los elementos de esa secuencia y sólo a ellos.
La función \(s\) estaría dada por \(s(n) = n \cup \{n\}\).
Hay que comprobar que se cumplen las propiedades 1 y 2.

A un "ejemplo" de caso que cumple una lista de axiomas se le llamaría una interpretación de los axiomas, o construcción.
Puede haber varias construcciones posibles, si uno usa la imaginación.

Sobretodo, una vez que uno ya tiene una terna \((N,0,s)\) que cumple los Axiomas,
uno puede usarla como base de trabajo, y construirse con su ayuda muchos otros ejemplos. No voy a dar ninguno, por miedo a crear confusión.

A partir de aquí se pueden definir las operaciones aritméticas típicas de suma y producto, así como el orden usual de los números naturales.
Con la construcción de Von Neumann es fácil definir la relación de orden,
ya que en ese caso decimos que \(m<n\) si y sólo si \(m\in n\).

Hay muchas propiedades que se pueden demostrar, en un orden u otro.
Todo depende de qué es lo que te estén pidiendo exactamente, que no lo sé.
En cualquier caso es mucho trabajo, si uno se pone detallista...



22 Mayo, 2021, 02:55 am
Respuesta #6

manooooh

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Hola

Por otro lado, técnicamente, todo axioma de cualquier teoría axiomática es un teorema de esa misma teoría, cuya demostración empieza y termina con él mismo, por lo que "axioma" y "teorema" no son términos mutuamente contradictorios. Todo axioma es un teorema, pero el recíproco no es cierto en general.

Entonces la definición de teorema que yo tenía está mal. Porque para mí un teorema es una proposición verdadera, y una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso. ¿De acuerdo hasta aquí?

Luego viene la definición de axioma, y según lo que entendí es que un axioma es un enunciado que es evidente por sí mismo, en otras palabras es una proposición verdadera que no puede ser demostrada. ¿Esto está mal?

Porque si un axioma no se puede demostrar, estamos diciendo que también es teorema, que es algo que se puede demostrar. Es decir una contradicción.

Saludos

22 Mayo, 2021, 11:14 am
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Entonces la definición de teorema que yo tenía está mal. Porque para mí un teorema es una proposición verdadera, y una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso. ¿De acuerdo hasta aquí?

Por supuesto que no.

Luego viene la definición de axioma, y según lo que entendí es que un axioma es un enunciado que es evidente por sí mismo, en otras palabras es una proposición verdadera que no puede ser demostrada. ¿Esto está mal?

La pregunta es, más bien, ¿el libro del que has sacado esas definiciones está impreso en papel o manuscrito en papiro? Porque, desde un punto de vista moderno (y no de ayer) son auténticos disparates. Es como si dijeras que el sol es el carro de fuego del dios Helios que cada día recorre la esfera celeste. Es un punto de vista un tanto desfasado.

Por el contrario, hoy en día se considera que el sol no es un carro de fuego, sino una estrella, y que un teorema no es una afirmación verdadera, sino una afirmación demostrable a partir de unos axiomas prefijados, independientemente de que sea verdadera o falsa respecto a una interpretación posible que se quiera considerar, y un axioma no es una afirmación evidente, sino una afirmación que se toma como punto de partida válido de las demostraciones en una teoría dada, independientemente de que sea verdadera o falsa (o evidente o no evidente) respecto de una interpretación dada.

Por ejemplo, si tomas como axioma \( 0\neq 0 \) (cosa que nada te impide hacer) tienes una teoría axiomática en la que todas las afirmaciones son teoremas, tanto si son verdaderas como si son falsas.

En el otro extremo, si tomas como axiomas los axiomas de ZFC (que es lo que suelen hacer los matemáticos, lo sepan o no) entonces Matiyasévich demostró (a partir del teorema de incompletitud e Gödel) que existen polinomios de varias variables \( P(x_1, \ldots, x_n) \) con coeficientes enteros (que puedes escribir explícitamente en un papel si tienes la paciencia necesaria), de modo que la afirmación "existen números enteros \( x_1, \ldots, x_n \) que cumplen \( P(x_1, \ldots, x_n)=0 \)" no es demostrable ni refutable a partir de los axiomas de ZFC, con lo que una de las dos afirmaciones (la existencia o la no existencia de tales números enteros) es verdadera, pero no demostrable, es decir, es verdadera y no es un teorema.

También tienes casos intermedios. Existen afirmaciones sencillas sobre números naturales que no son teoremas cuando tomas como axiomas los axiomas de Peano (no se pueden demostrar a partir de dichos axiomas), pero que sí que son teoremas cuando tomas como axiomas los axiomas de ZFC (o incluso otros más débiles).

En suma: ser un teorema es algo relativo a los axiomas que consideres, y no depende para nada de si la afirmación es verdadera o falsa con una interpretación dada. No obstante, en muchos contextos es razonable interpretar "teorema" en un sentido absoluto, como "teorema demostrable en ZFC". En tal caso, sigue sin existir una relación directa entre "teorema" y "afirmación verdadera". Existen muchas interpretaciones (muchos modelos) posibles de la teoría de conjuntos. En algunos los axiomas de ZFC son verdaderos (y por lo tanto los teoremas también) y en otros son falsos (con lo que algunos teoremas de ZFC resultan ser falsos). Por ejemplo, hay modelos de ZF en los que el axioma de elección es falso, y entonces son falsos también algunos teoremas, como que todo espacio vectorial tenga una base, etc.

En cuanto a los axiomas, cualquier afirmación puede ser tomada como axioma. Si la eliges con poco cuidado, puedes tomar un axioma contradictorio y te sale una teoría axiomática trivial en la que todas las fórmulas son teoremas, tanto si son verdaderas o falsas en una interpretación dada. No es algo muy interesante, pero no tiene nada de "herético".

Si tomas precauciones para tomar axiomas consistentes (o, al menos, que no parezca que sean contradictorios), nada te obliga a que los axiomas sean evidentes en ningún sentido. ¿Es evidente el axioma de elección? Desde el momento en que ha habido muchos matemáticos que han cuestionado su legitimidad, puede decirse que "evidente" no es, o si no, los matemáticos que le ponían objeciones serían unos zoquetes.

Cuando a los matemáticos "se les queda corto" ZFC, es habitual que consideren axiomas adicionales que no tienen nada de evidente. Por ejemplo, hay muchos teoremas que se demuestran tomando como axioma la hipótesis del continuo. ¿Es evidente la hipótesis del continuo? Pero también hay teoremas que se demuestran tomando como axiomas otros principios que permiten demostrar como teorema la negación de la hipótesis del continuo.

Te pongo un ejemplo de axioma que les gusta mucho a los topólogos, para que juzgues tú mismo si se puede considerar "una afirmación evidente". Se trata del axioma de Martin. Quizá uno de sus enunciados alternativos menos esotéricos sea éste:

Citar
En todo espacio topológico de Hausdorff compacto con la condición de cadena numerable, la intersección de menos de \( 2^{\aleph_0} \) abiertos densos es densa.

Eso no tiene nada de evidente, de hecho es falso en muchos modelos de la teoría de conjuntos, pero puede probarse que es consistente con los axiomas de ZFC, es decir, que si éstos son consistentes, la teoría que resulta de añadir este axioma también lo es, y eso te garantiza que si puedes demostrar algo usando el axioma de Martin, es seguro (en la medida en que confíes en la consistencia de ZFC) que no vas a poder demostrar lo contrario en ZFC.

Porque si un axioma no se puede demostrar, estamos diciendo que también es teorema, que es algo que se puede demostrar. Es decir una contradicción.

Trivialmente todo axioma se puede demostrar a partir de sí mismo, luego, técnicamente, todo axioma es un teorema. Esto es como decir que el conjunto vacío es una aplicación biyectiva del conjunto vacío en sí mismo. Es un caso "patológico" que resulta de aplicar literalmente las definiciones a un caso trivial, y está bien que sea así porque así todo cuadra.

28 Mayo, 2021, 08:40 am
Respuesta #8

manooooh

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Hola

Muchas gracias, Carlos. Creo que los conceptos en discusión ya los planteé en su momento y siento que te hago perder el tiempo escribiendo casi lo mismo. Trato de entenderlo, me cuesta pero de a poco voy fijando los conceptos correctos que inculcas.

Quizás por lo pronto se me viene a la cabeza lo siguiente: Si soy caprichoso puedo tomar los axiomas que quiera, ¿cómo sé que están bien elegidos (i.e. no contradictorios)? ¿Hay alguna manera de saberlo más o menos de forma inmediata, sin pasar por el tamiz formal? ¿Cómo puedo saber hasta qué punto debo considerar axiomas y luego otras cosas que se basen sobre ellos para tener una teoría bonita?

Quizás las respuestas estén en el mensaje, pero una lectura rápida me hace pensar que no.

Saludos

28 Mayo, 2021, 12:18 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Creo que los conceptos en discusión ya los planteé en su momento y siento que te hago perder el tiempo escribiendo casi lo mismo. Trato de entenderlo, me cuesta pero de a poco voy fijando los conceptos correctos que inculcas.

No recuerdo haber hablado de esto antes, pero no me fío mucho de mi memoria.

Quizás por lo pronto se me viene a la cabeza lo siguiente: Si soy caprichoso puedo tomar los axiomas que quiera, ¿cómo sé que están bien elegidos (i.e. no contradictorios)?

No lo sabes. Y lo habitual no es que no lo sepas tú, sino que no pueda saberlo nadie. Es el caso de los axiomas de la teoría de conjuntos. El segundo teorema de incompletitud de Gödel implica que no es posible demostrar la consistencia de los axiomas de la teoría de conjuntos: se trata de una teoría lo suficientemente potente como para formalizar cualquier argumento que resulte "convincente" a un matemático (finitista o cercano al finitismo), así que si alguien pudiera argumentar (sin apoyarse en principios dudosos) que la teoría de conjuntos es consistente, dicho argumento se podría formalizar en esa misma teoría, y la demostración del teorema de incompletitud permitiría a partir de ahí construir la prueba de una contradicción en la teoría.

¿Hay alguna manera de saberlo más o menos de forma inmediata, sin pasar por el tamiz formal?

Teorías "de juguete" aparte, probar la consistencia de una teoría axiomática suele ser algo muy complicado que, como he dicho antes, no siempre se puede hacer. Lo más habitual es tener pruebas de consistencia relativas. Por ejemplo, puede probarse que si la teoría de conjuntos es consistente, también lo es al añadirle la hipótesis del continuo, pero la prueba no tiene nada de "inmediato" y sólo es una prueba relativa, es decir, no garantiza que la teoría de conjuntos con la hipótesis del continuo sea consistente, sino meramente que, si hay contradicciones en ella, es porque ya las hay en la teoría de conjuntos sin la hipótesis del continuo, es decir, que las posibles contradicciones no las puede provocar ésta.

También hay casos de teorías cuya consistencia se puede probar de forma absoluta. Un ejemplo es la axiomatización de Tarski de la geometría euclídea elemental.

Y hay otros casos más "filosóficos", como la cuestión de si los axiomas de Peano son consistentes. Hay quienes consideramos que esto es evidente, porque admiten como modelo a los números naturales, y hay quienes piensan que eso no prueba nada. Por otro lado, existe una prueba "cuasifinitista" de la consistencia de los axiomas de Peano, debida a Gentzen, que se apoya en la buena ordenación de un ordinal (\( \epsilon_0 \)) construido (o que puede construirse) informalmente, al margen de la teoría axiomática de conjuntos, y entonces da pie a filosofar sobre si la buena ordenación de \( \epsilon_0 \) es algo que podamos considerar "evidente" como para considerar concluyente la prueba de Gentzen o no.

¿Cómo puedo saber hasta qué punto debo considerar axiomas y luego otras cosas que se basen sobre ellos para tener una teoría bonita?

Lo de "bonita" lo dejo para que lo dilucide el jurado de Miss Universo. En principio, un matemático sin interés especial por la lógica no necesita preocuparse de teorías axiomáticas más allá de tener claro que todos sus teoremas (salvo que use axiomas especiales, como la hipótesis del continuo) son demostrables en cualquiera de las teorías de conjuntos usuales, entre las cuales ZFC es la más popular. Con eso basta, y el "deber" de considerar esos axiomas se funda en que sin ellos es fácil caer en paradojas que no está claro a qué se deben o cómo evitarlas limpiamente si no se especifica (formalmente) un marco de trabajo.

Pero el matemático con interés por la lógica puede entretenerse encontrando y estudiando teorías axiomáticas que formalizan fragmentos particulares de la matemática (los números naturales, el análisis elemental, distintas geometrías, etc.) de donde se puede obtener información relevante en muchos aspectos. O también se pueden diseñar teorías axiomáticas que usen lenguajes alternativos al de la lógica de primer orden, que pueden resultar más naturales en ciertos contextos, etc.

Por ejemplo, una posible utilidad de estas cosas es obtener teorías de las que podamos asegurar su consistencia o, al menos, cuya consistencia, aunque no sea demostrable, resulte ser una hipótesis bastante más débil que la consistencia de ZFC.