No, son cosas distintas. Aquí la signatura la fijamos de entrada. En el ejemplo anterior he usado (-,+,+,+), pero puedes usar (+,-,-,-) y funciona todo más o menos igual.
Ahora, una orientación topológica en una variedad diferenciable la puedes pensar como una elección de una orientación en cada espacio tangente que varía suavemente. Para lo que te quería decir basta con considerar orientaciones en espacios vectoriales (lorentzianos) como el espacio de Minkwoski.
Una orientación en un espacio vectorial la puedes ver como una clase de equivalencia de bases, donde dos bases son equivalentes si la matriz de cambio de base es de determinante positivo. Se ve que hay dos clases de equivalencia y por tanto dos orientaciones posibles. En el ejemplo de Minkowski, las dos bases que dí antes pertenecen a la misma orientación pues el determinante del cambio de base es \[ 1 \]. Aquí la métrica no pinta nada.
Ahora, las orientaciones temporales y espaciales también se pueden ver como clases de equivalencia de bases, pero ahora ortonormales respecto de la métrica (y ordenadas de maners que el primer vector sea el tipo tiempo y los demás los tipo espacio). La cuestión aquí es que la matriz de cambio de base entre dos bases ortonormales es una matriz del grupo de Lorentz \[ O(1,3) \]. Pero el grupo de Lorentz tiene cuatro componentes conexas: \[ O^{++},O^{+-},O^{-+} \] y \[ O^{--} \], donde el primer superíndice indica si preserva o invierte la orientación temporal (si en la matriz el elemento de la primera fila y primera columna es positivo o negativo) y el segundo superíndice si preserva o invierte la orientación espacial (si la submatriz \[ 3\times 3 \] obtenida eliminando la primera fila y la primera columna tiene determinante positivo o negativo).
Entonces, decimos que dos bases ortonormales tienen la misma orientación si la matriz de cambio de base preserva la orientación (es de \[ O^{++} \] o de \[ O^{+-} \]) y una orientación temporal es una clase de equivalencia de bases ortonormales donde dos son equivalentes si tienen la misma orientación temporal. De nuevo hay dos clases de equivalencia y por tanto dos orientaciones.
El caso de las orientaciones espaciales es análogo pero ahora la relación de equivalencia es que la matriz de cambio de base preserve la orientación espacial, es decir, esté en \[ O^{++} \] o en \[ O^{-+} \].
Lo que sucede entonces es que si yo solamente te doy la orientación topológica de Minkwoski, que es una clase de equivalencia de bases, no puedo distinguir entre las bases \[ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) \] y \[ (-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0)(0,0,0,-1) \] porque ambas pertenecen a la misma clase de equivalencia respecto a la orientación topológica. Pero sin embargo ambas bases pertenecen a clases de equivalencia distintas respecto a la orientación temporal y espacial. Es decir, definen orientaciones temporales y espaciales opuestas. Como la única información que me dan es la orientación topológica, no puedo elegir a partir de ella de manera única una orientación temporal y espacial.
Todo esto está explicado un poco mejor (o al menos con un poco más de detalle) por ejemplo en la sección "Time-orientability and space-orientability" del capítulo 9 del O'Neill.