[geómetracat]

Ah bueno, si asumes la variedad simplemente conexa ya no hay problema, siempre es orientable en todos los sentidos.

Aún así creo que no es cierto que fijada una orientación topológica te fije una orientación temporal y una espacial (al revés sí funciona). Porque si cambias a la vez tanto la orientación temporal como la espacial la orientación topológica se queda igual.

[Restituto]

Ah bueno, si asumes la variedad simplemente conexa ya no hay problema, siempre es orientable en todos los sentidos.

¿En los tres? Creo que se ha de cumplir un requisito topológico más fuerte:que se anulen tanto la primera como la segunda clases de Stiefel-Whitney.

Aún así creo que no es cierto que fijada una orientación topológica te fije una orientación temporal y una espacial (al revés sí funciona). Porque si cambias a la vez tanto la orientación temporal como la espacial la orientación topológica se queda igual.

Es que no digo que fije la orientación temporal y espacial, sino que garantiza que haya orientabilidad espacial y temporal

[Restituto]

En realidad lo que digo seguramente es trivial, si está orientada es orientable y entonces sí que siendo simplemente conexa y con signatura lorentziana será también orientable temporal y espacialmente, que es a lo que te debes referir en tu último mensaje.

[geómetracat]

No, es más fuerte que eso: toda variedad lorentziana simplemente conexa es orientable en todos los sentidos. La demostración es esencialmente la misma que la de que toda variedad simplemente conexa es orientable. Para cada una de las tres nociones de orientabilidad hay un recubridor doble de la variedad (obtenido considerando cada una de las dos posibles orientaciones en cada punto) que es conexo si y solo si la variedad no es orientable. Si es simplemente conexa no puede tener ningún recubridor doble conexo, por tanto ese recubridor es no conexo y la variedad es orientable.

Sobre las clases de Stiefel-Whitney: una variedad es orientable (topológicamente) si y solo si su primera clase de Stiefel-Whitney es cero. Si es simplemente conexa, entonces \[ H^1(X;\Bbb Z/2) \] es cero y por tanto la primera clase de SW debe ser cero. Esto da otra prueba de que una variedad simplemente conexa es cero.

La segunda clase de SW es cero si y solo si la variedad admite una estructura Spin, pero esto no veo cómo se relaciona con las orientabilidades temporales y espaciales. A priori diría que no tiene relación, porque la clase SW es un invariante topológico, mientras que la orientabilidad temporal/espacial es un concepto métrico.

[Restituto]

No, es más fuerte que eso: toda variedad lorentziana simplemente conexa es orientable en todos los sentidos. La demostración es esencialmente la misma que la de que toda variedad simplemente conexa es orientable. Para cada una de las tres nociones de orientabilidad hay un recubridor doble de la variedad (obtenido considerando cada una de las dos posibles orientaciones en cada punto) que es conexo si y solo si la variedad no es orientable. Si es simplemente conexa no puede tener ningún recubridor doble conexo, por tanto ese recubridor es no conexo y la variedad es orientable.

Sobre las clases de Stiefel-Whitney: una variedad es orientable (topológicamente) si y solo si su primera clase de Stiefel-Whitney es cero. Si es simplemente conexa, entonces \[ H^1(X;\Bbb Z/2) \] es cero y por tanto la primera clase de SW debe ser cero. Esto da otra prueba de que una variedad simplemente conexa es cero.

La segunda clase de SW es cero si y solo si la variedad admite una estructura Spin, pero esto no veo cómo se relaciona con las orientabilidades temporales y espaciales. A priori diría que no tiene relación, porque la clase SW es un invariante topológico, mientras que la orientabilidad temporal/espacial es un concepto métrico.

Gracias, esto me ordena mejor las ideas.

Respecto a la segunda clase SW tienes razón  que es algo mucho menos general de lo que estamos hablando y no debería mezclarlo.

Me gustaría preguntar aún una duda sobre lo que escribiste antes: "Aún así creo que no es cierto que fijada una orientación topológica te fije una orientación temporal y una espacial (al revés sí funciona). Porque si cambias a la vez tanto la orientación temporal como la espacial la orientación topológica se queda igual". En mi planteamiento no sólo estaba fijada una orientación topológica sino que esta fijada para una cierta signatura indefinida particular, y en este caso no sería posible cambiar la orientación espacial y temporal a la vez sin modificar o bien la convención de signatura o la convención fijada sobre que signo se asocia a un determinante positivo.

[geómetracat]

Me gustaría preguntar aún una duda sobre lo que escribiste antes: "Aún así creo que no es cierto que fijada una orientación topológica te fije una orientación temporal y una espacial (al revés sí funciona). Porque si cambias a la vez tanto la orientación temporal como la espacial la orientación topológica se queda igual". En mi planteamiento no sólo estaba fijada una orientación topológica sino que esta fijada para una cierta signatura indefinida particular, y en este caso no sería posible cambiar la orientación espacial y temporal a la vez sin modificar o bien la convención de signatura o la convención fijada sobre que signo se asocia a un determinante positivo.

Pongo un ejemplo para que se entienda lo que quiero decir. Considera el espacio de Minkowski \[ \Bbb R^4 \] con métrica \[ -dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 \]. Una orientación topológica viene dada fijando la base \[ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) \]. La misma orientación viene dada por la base \[ (-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1) \], porque la matriz de cambio de base tiene determinante positivo. Sin embargo, las dos bases tienen orientación tanto temporal como espacial opuestas.

[Restituto]

Pongo un ejemplo para que se entienda lo que quiero decir. Considera el espacio de Minkowski \[ \Bbb R^4 \] con métrica \[ -dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 \]. Una orientación topológica viene dada fijando la base \[ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) \]. La misma orientación viene dada por la base \[ (-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1) \], porque la matriz de cambio de base tiene determinante positivo. Sin embargo, las dos bases tienen orientación tanto temporal como espacial opuestas.

Es posible que incluso estemos diciendo lo mismo(aunque sin duda tú de forma menos retorcida). Lo que yo llamo fijar una orientación espacial y temporal a partir de una orientación global y una convención de signatura(west coas o east coast https://en.wikipedia.org/wiki/Sign_convention) quizás sea fijar una base.

[geómetracat]

No, son cosas distintas. Aquí la signatura la fijamos de entrada. En el ejemplo anterior he usado (-,+,+,+), pero puedes usar (+,-,-,-) y funciona todo más o menos igual.

Ahora, una orientación topológica en una variedad diferenciable la puedes pensar como una elección de una orientación en cada espacio tangente que varía suavemente. Para lo que te quería decir basta con considerar orientaciones en espacios vectoriales (lorentzianos) como el espacio de Minkwoski.
Una orientación en un espacio vectorial la puedes ver como una clase de equivalencia de bases, donde dos bases son equivalentes si la matriz de cambio de base es de determinante positivo. Se ve que hay dos clases de equivalencia y por tanto dos orientaciones posibles. En el ejemplo de Minkowski, las dos bases que dí antes pertenecen a la misma orientación pues el determinante del cambio de base es \[ 1 \]. Aquí la métrica no pinta nada.

Ahora, las orientaciones temporales y espaciales también se pueden ver como clases de equivalencia de bases, pero ahora ortonormales respecto de la métrica (y ordenadas de maners que el primer vector sea el tipo tiempo y los demás los tipo espacio). La cuestión aquí es que la matriz de cambio de base entre dos bases ortonormales es una matriz del grupo de Lorentz \[ O(1,3) \]. Pero el grupo de Lorentz tiene cuatro componentes conexas: \[ O^{++},O^{+-},O^{-+} \] y \[ O^{--} \], donde el primer superíndice indica si preserva o invierte la orientación temporal (si en la matriz el elemento de la primera fila y primera columna es positivo o negativo) y el segundo superíndice si preserva o invierte la orientación espacial (si la submatriz \[ 3\times 3 \] obtenida eliminando la primera fila y la primera columna tiene determinante positivo o negativo).
Entonces, decimos que dos bases ortonormales tienen la misma orientación si la matriz de cambio de base preserva la orientación (es de \[ O^{++} \] o de \[ O^{+-} \]) y una orientación temporal es una clase de equivalencia de bases ortonormales donde dos son equivalentes si tienen la misma orientación temporal. De nuevo hay dos clases de equivalencia y por tanto dos orientaciones.
El caso de las orientaciones espaciales es análogo pero ahora la relación de equivalencia es que la matriz de cambio de base preserve la orientación espacial, es decir, esté en \[ O^{++} \] o en \[ O^{-+} \].

Lo que sucede entonces es que si yo solamente te doy la orientación topológica de Minkwoski, que es una clase de equivalencia de bases, no puedo distinguir entre las bases \[ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) \] y \[ (-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0)(0,0,0,-1) \] porque ambas pertenecen a la misma clase de equivalencia respecto a la orientación topológica. Pero sin embargo ambas bases pertenecen a clases de equivalencia distintas respecto a la orientación temporal y espacial. Es decir, definen orientaciones temporales y espaciales opuestas. Como la única información que me dan es la orientación topológica, no puedo elegir a partir de ella de manera única una orientación temporal y espacial.

Todo esto está explicado un poco mejor (o al menos con un poco más de detalle) por ejemplo en la sección "Time-orientability and space-orientability" del capítulo 9 del O'Neill.

[Restituto]

Lo que sucede entonces es que si yo solamente te doy la orientación topológica de Minkwoski, que es una clase de equivalencia de bases, no puedo distinguir entre las bases \[ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1) \] y \[ (-1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0)(0,0,0,-1) \] porque ambas pertenecen a la misma clase de equivalencia respecto a la orientación topológica. Pero sin embargo ambas bases pertenecen a clases de equivalencia distintas respecto a la orientación temporal y espacial. Es decir, definen orientaciones temporales y espaciales opuestas. Como la única información que me dan es la orientación topológica, no puedo elegir a partir de ella de manera única una orientación temporal y espacial.

Te agradezco mucho la respuesta tan elaborada y la tengo que estudiar a fondo pero creo que merece la pena aclarar que en mi planteamiento hay más información que la orientación topológica, tengo asociada a cada convención (+,-,-,-) y (-,+,+,+)  las 2 orientaciones espaciales y temporales opuestas posibles de forma respectiva y de manera única ya que la orientación topológica aunque no distinga las 2 bases que escribes si distingue la transformación de bases que lleva una a la otra o viceversa.

[geómetracat]

Pero insisto que en todo lo que digo la métrica y la signatura están fijadas de antemano. No es que una base corresponda a una signatura y otra a la otra, o que se cambie de una signatura a otra. Las bases son ortonormales respecto de una métrica con una signatura fijada.

Si quieres se puede decir en términos más intrínsecos que no involucren matrices: dos bases ortonormales corresponden a la misma orientación temporal si el (único) vector tipo tiempo de cada base está en la misma componente del cono temporal (de los dos que tiene).