Autor Tema: Límites de funciones - límites laterales y tipo de discontinuidad en un punto

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23 Noviembre, 2020, 02:28 am
Respuesta #10

ingmarov

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Me queda entonces:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{sen(x)}{x.\sqrt[ ]{1+cos(x)}} \)

Calcula ese límite, ese está fácil.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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23 Noviembre, 2020, 02:29 am
Respuesta #11

manooooh

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Hola

Me queda entonces:

\( \displaystyle\frac{sen(x)}{x.\sqrt[ ]{1+cos(x)}} \)

Sería \( \displaystyle\frac{\lvert\sen(x)\rvert}{x.\sqrt[ ]{1+\cos(x)}} \) y debes abrir el límite cuando \( x\to0^+ \) y \( x\to0^- \), recordando que \( \lim_{x\to0}\sen(x)/x=1 \).

Saludos

23 Noviembre, 2020, 03:03 am
Respuesta #12

mgranadosgg

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A ver esta solución:

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos(x)}}{ln(1+x)}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos(x)}}{ln(1+x)}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1+cos(x)}}{\sqrt[ ]{1+cos(x)}}}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{sen(x)}{x}}{\displaystyle\frac{ln(1+x)\sqrt[ ]{1+cos(x)}}{x}} \)

Ahora bien,

numerador: \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{sen(x)}{x}}=1 \)

denominador: \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{{\displaystyle\frac{ln(1+x)\sqrt[ ]{1+cos(x)}}{x}}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{{\displaystyle\frac{e^{ln(1+x)}·e^{\sqrt[ ]{1+cos(x)}}}{e^{x}}}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{(1+x)e^{\sqrt[ ]{1+cos(x)}}}{e^{x}}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{(1)e^{\sqrt[ ]{2}}}{e^{0}}}=e^{\sqrt[ ]{2}} \)

Por  tanto,

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{1-cos(x)}}{ln(1+x)}}=e^{\sqrt[ ]{2}} \)

¿es correcta? Gracias y saludos.

23 Noviembre, 2020, 03:28 am
Respuesta #13

ingmarov

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Hola

Me queda entonces:

\( \displaystyle\frac{sen(x)}{x.\sqrt[ ]{1+cos(x)}} \)

Sería \( \displaystyle\frac{\lvert\sen(x)\rvert}{x.\sqrt[ ]{1+\cos(x)}} \) y debes abrir el límite cuando \( x\to0^+ \) y \( x\to0^- \), recordando que \( \lim_{x\to0}\sen(x)/x=1 \).

Saludos

Buen punto

\[ \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{\dfrac{|sen(x)|}{x}}=1 \]      y     \[ \displaystyle\lim_{x \to 0^-}{\dfrac{|sen(x)|}{x}}=-1 \]



...
denominador: \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{{\displaystyle\frac{{\color{blue}ln(1+x)}\sqrt[ ]{1+cos(x)}}{{\color{blue}x}}}}=\cdots \)
...

¿No habías dicho que conocías el límite de la expresión que he puesto en azul?
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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23 Noviembre, 2020, 03:42 am
Respuesta #14

mgranadosgg

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pues pesaba que me quedaría algo asi \( \lim _{x\to \:0}\left(\frac{\frac{1}{x+1}}{1}\right) \)
\( =\lim _{x\to \:0}\left(\frac{1}{x+1}\right) \)
\( =\frac{1}{0+1} \)
\( =1 \)

pero la solución que habéis puesto es la correcta. Muchas gracias.

23 Noviembre, 2020, 03:48 am
Respuesta #15

ingmarov

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...
pero la solución que habéis puesto es la correcta. Muchas gracias.

Concluyes que el límite bilateral no existe entonces. Pero puedes calcular los laterales ¿Cuánto te dieron?

Saludos
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23 Noviembre, 2020, 04:13 am
Respuesta #16

mgranadosgg

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\( \lim _{x\to \:\:0^-}\left(\frac{\left|sen\left(x\right)\right|}{x\sqrt{1+cos\left(x\right)}}\right) \)

El seno de x es negativo cuando \( x->0^- \) Entonces, \( |sen(x)|=-sen(x) \)
\( \lim _{x\to \:0-}\left(-\frac{\sen \left(x\right)}{x\sqrt{1+\cos \left(x\right)}}\right) \)

Sabría continuar con L`Hôpital, pero si él, no. Porque haría las derivadas y quedaría:
\( =-\frac{2\cos \left(0\right)\sqrt{1+\cos \left(0\right)}}{2\left(1+\cos \left(0\right)\right)-0\cdot \sin \left(0\right)} \)
\( =-\frac{1}{\sqrt{2}} \)

23 Noviembre, 2020, 04:29 am
Respuesta #17

ingmarov

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Has tenido problemas con este

...
denominador: \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{{\displaystyle\frac{ln(1+x)\sqrt[ ]{1+cos(x)}}{x}}}= \)

...

y con este

\( \lim _{x\to \:\:0^-}\left(\frac{\left|sen\left(x\right)\right|}{x\sqrt{1+cos\left(x\right)}}\right) \)

...

por el mismo motivo, se te ha olvidado, supongo, que

\[ \displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)\cdot g(x)}=\lim_{x \to a}{f(x)}\cdot\lim_{x \to a}{g(x)} \]     Siempre que los límites existan


Por tal razón

\[ \lim _{x\to \:\:0^-}\left(\frac{\left|sen\left(x\right)\right|}{x\sqrt{1+cos\left(x\right)}}\right)=\lim _{x\to \:\:0^-}\left(\frac{\left|sen\left(x\right)\right|}{x}\right)\cdot \lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{\sqrt{1+cos\left(x\right)}} \]


Saludos
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23 Noviembre, 2020, 12:37 pm
Respuesta #18

mgranadosgg

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Los límites laterales para \( 0^+ \) y \( 0^- \) me salen \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \). Entonces, la discontinuidad sería evitable: solo en el punto x=0.

Saludos.

23 Noviembre, 2020, 01:02 pm
Respuesta #19

Bobby Fischer

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Hola,

denominador: \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{{\displaystyle\frac{ln(1+x)\sqrt[ ]{1+cos(x)}}{x}}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{{\displaystyle\frac{e^{ln(1+x)}·e^{\sqrt[ ]{1+cos(x)}}}{e^{x}}}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{(1+x)e^{\sqrt[ ]{1+cos(x)}}}{e^{x}}}=\displaystyle\lim_{x \to{0}}{\displaystyle\frac{(1)e^{\sqrt[ ]{2}}}{e^{0}}}=e^{\sqrt[ ]{2}} \)

Aunque el ejercicio está resuelto, en esta línea hay un error, porque la exponenciación no está bien hecha.

Los límites laterales para \( 0^+ \) y \( 0^- \) me salen \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{2} \). Entonces, la discontinuidad sería evitable: solo en el punto x=0.

Saludos.

Pero los límites laterales salen de signo contrario. La discontinuidad en \(x=0\) es un salto de la función, es decir, no es evitable. En cualquier otro punto, la función es continua. Esto teniendo en cuenta que el dominio es \((-1,+\infty)\setminus\{0\}\)