Hola
Mostrar que si \( |n|\ge 2 \), no hay relacion de orden total en \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) que sea compatible con la suma.
Por ser orden total o bien \( \bar 0<\bar 1 \) ó bien \( \bar 0>\bar 1 \)
Supón que \( \bar 0<\bar 1 \). Si el orden es compatible \( \bar 0+\bar k<\bar 1+\bar k \), es decir, \( \bar k<\overline{ k+1} \) para cualquier \( k\in \Bbb Z. \)
Por transitividad entonces \( \bar 0<\bar 1<\bar 2<\ldots<\bar n<\overline{ n+1}=\bar 1 \), es decir \( \bar 0<\bar 1<\bar 0 \). ¡Imposible!.
Lo análogo si \( \bar 0>\bar 1 \).
Saludos.
