Buen, día
Se me ocurrió la siguiente solución. Echadle un vistazo, aunque reconozco que la redacción es ambigua
Hola espero su ayuda en lo siguiente:
\( A=\{z\in\mathbb{C}:\left |{z-3}\right |+\left |{z+3}\right |=10\} \)
\( B=\{w\in\mathbb{C}:\left |{w}\right |\leq{}2\} \)
Si \( R=\{(z+w)\in\mathbb{C}:z\in A \wedge w\in B\} \)
Halle el área de la región\( R \).
El conjunto A está formado por los puntos z del plano complejo cuya suma de distancias a los puntos \( f_1(-3,0) \), \( f_2(3,0) \) es 10; esto se corresponde con la caracterización de una elipse como lugar geométrico.
En este caso concreto de trata de la elipse con centro en el origen de coordenadas, focos en f1 y f2, su distancia focal es 2c=6 y eje mayor 2a=10. Por tanto dos de sus vértices del entre focal son \( A_1(-5,0),\; A_2(5,0) \). Cómo además debe cumplirse \( b^2+a^2=c^2 \), se tiene que el eje menor tiene por longitud 2b=8. Por tanto dos verdes en el eje secundario son los puntos \( B_1(-4,0),\; B_2(4,0) \).
La representación gráfica es la siguiente
Si ecuación implícita: \( \left(\dfrac{x}{5}\right)^2+\left(\dfrac{y}{4}\right)^2=1 \)
El área de esta elipse es \( S_1=a\cdot b\cdot\pi=20\pi \) unidades cuadradas.
El conjunto B está formado por los puntos w del plano complejo cuya distancia al origen de coordenadas es menor o igual a dos; esto corresponde a una caracterización del círculo como lugar geométrico.
En este caso concreto se trata de un círculo con centro en el origen de coordenadas y radio dos.
Si ecuación implícita \( x^2+y^2\leq 4 \)
El área de este círculo es \( S_2=\pi r^2=4\pi \)
Para calcular el área del conjunto R se procede de la forma siguiente:
El conjunto A+B se puede obtener de la forma siguiente:
\( \displaystyle A+B=\left(\sum_{a\in A}{a}\right)+B=\left(\sum_{a\in A}{a+B}\right) \)
Para todos los puntos de la elipse se debe sumar el área del círculo con centro en el origen y radio dos.
Así el área podía ser obtiene como el producto de la longitud de la elipse por el área del círculo.
Una aproximación de la longitud de la elipse es la siguiente:
\( L=\pi\cdot a\left(1-\dfrac{b}{a}\right)=\pi\cdot 5\left(1+\dfrac{\bf\color{red}2}{5}\right)={\bf\color{red}3}\pi \)
Por tanto, el área perdida es la siguiente:
\( A(R)\approx 3\pi\cdot 4\pi=12\pi^2 \)
